平行に振るんじゃなくてスピン回転を利かしたサーブを打ちたければ自然と平行に振るしかなくなるんだけどね
ボールが利き手側に飛んでしまうのは、たぶんスイングの終わり付近で当たってしまっているからだと推測する。もっとスイングの早いタイミング、腕を振り上げている途中で打つ感じでやってみたらどうかな