■初等関数研究室■

**ゼータ関数** · 2019/06/15(土) 22:06:56.50

初等関数（しょとうかんすう、英: Elementary function）とは、
実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、
三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを
有限回繰り返して得られる関数のことである

ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない
初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という
双曲線関数やその逆関数も初等関数である

初等関数の導関数はつねに初等関数になる

**名無し生涯学習** · 2019/07/16(火) 15:14:48.23

■点(0,1/4),(13,0) を通るように二次関数にする

1-(165-3n)/(208-4n)　から
1-(165n-3n^2+3b)/(208n-4n^2+4b)　とおくと

n=0,b≧1のとき、1/4が出力できる

さらにn=13のときに(165n-3n^2+3b)=(208n-4n^2+4b)　
となれば、0が出力できる

このためには、分母を分子よりも小さくして

1-(165n-3n^2+3b)/(208n-7n^2+4b)　

その差分をb=117で回収すると完成

∴1-(165n-3n^2+351)/(208n-7n^2+468)　

式変形すると

(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468)

■Wolfram入力

Table[(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468),{n,0,13}]

**名無し生涯学習** · 2019/07/16(火) 15:16:46.54

■三角錐数を小さい順に列記すると

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680,
816, 969, …（オンライン整数列大辞典の数列 A292）

計算式

n(n+1)(n+2)/6

**名無し生涯学習** · 2019/07/16(火) 15:17:38.37

・代数方程式の厳密解
入力例：solve[x^3-3x+4=0]

**名無し生涯学習** · 2019/07/16(火) 15:19:20.79

『ある二次関数のグラフが、

点(0,1/4),(3,10/49),(13,0) を通るとき、

この二次関数を求めなさい』

二次関数を決めるには、基本的には３点必要です
３点が与えられると、対応する式が３つできるので、
この連立方程式を解けば、３つの係数が確定できる、
というのが典型的な流れです
連立方程式を解くのが少し大変ですが、
定数項を削除する方針で計算すれば、
計算はスムーズにいきます

9a+3b+c=10/49

169a+13b+c=0

c=1/4 を解いて

a=-1/2548, b=-9/637, c=1/4

∴y=(-1/2548)x^2+(-9/637)x+1/4

別の形　y=-((x+49)(x-13))/2548
　　　　　y=(961-(x+18)^2)/2548

**名無し生涯学習** · 2019/07/16(火) 17:04:20.33

100!中の二進数字の桁数を求める：

In[1]:=IntegerLength[100!, 2]

Out[1]=525

**名無し生涯学習** · 2019/07/16(火) 17:11:31.70

短軸有利☆

Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,12}]

Cの数は宝一つの時の当たり数の5
9+7+5+4+1=26は宝二個の時の当たり数になる

長軸有利☆

Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(6,k-1)+C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,12}]

Cの数は宝一つの時の当たり数の5
9+7+6+3+2=27は宝二個の時の当たり数になる

同様に20マスの場合は

短軸有利のCの数は宝一つの時の当たり数の9
17+15+13+11+10+8+5+4+1=84

長軸有利のCの数は宝一つの時の当たり数の9
17+15+13+12+8+7+6+3+2=83は
宝二個の時の当たり数になる

このことはn(n+1)マスでnを大きくしても変わらない

**名無し生涯学習** · 2019/07/16(火) 18:06:10.84

■マシュー群に関連した擬テータ関数に現れる合同式
Congruences on the Fourier coefficients of the Mathieu mock
theta function

**名無し生涯学習** · 2019/07/16(火) 18:33:03.38

床関数と天井関数

床関数 (floor function)

ポッホハマー記号のもう一つの定義

**名無し生涯学習** · 2019/07/17(水) 21:59:19.29

/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/

**名無し生涯学習** · 2019/07/17(水) 22:01:02.95

■残りのくじは正確に30枚あると仮定する

最初にくじを引いた時を i
2枚目のくじを引いた時をｊとして

2枚引いたくじの内の1枚がA賞であるという事象Aを考える.

A=｛（i，j）|　i または j がA賞（当たり）｝

Ω=｛（i，j）|1≦i≦30，1≦j≦29｝となり

この870通りの各要素が根元事象

#A=30x29-29x28=58

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

2枚引いたくじの内の1枚がA賞である確率は

P(A)=((29 30)-(28 29))/870=1/15

よって、1/15で正解

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563152697/6

**名無し生涯学習** · 2019/07/17(水) 22:01:33.46

■60枚のうち当たり2枚

1-(58/60)(57/59)=39/590
=0.0661016949152542372881355932203389830508...

1/15=0.06666666666666666666666666666666666666666...

**名無し生涯学習** · 2019/07/17(水) 22:02:10.84

2回とも外れる確率

29　　　 28　　　 28　　　 14
―　×　―　＝　―　＝　―
30　　　 29　　　 30　　　 15

全体（100%）からそれを引いたモノが当選率

15　　　 14　　　　1
―　－　―　＝　―
15　　　 15　　　 15

**名無し生涯学習** · 2019/07/17(水) 22:02:43.46

全部で50本クジが用意されておりA賞は1本のみ
そこから20人が引き、まだA賞は引かれていない
（後の客に迷惑かけないように）2本を同時に引き同時に開封する
→当たる確率は1/15(2/30)

**名無し生涯学習** · 2019/07/17(水) 22:03:10.39

■残りくじが50-n枚の可変型式を作った

残りくじが33枚の時

((49-n)(50-n)-(48-n)(49-n))/((50-n)(49-n)),n=17

2/33

**名無し生涯学習** · 2019/07/17(水) 22:04:41.68

/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/

**名無し生涯学習** · 2019/07/18(木) 15:45:31.25

長軸有利☆7×8

Table[sum[C(2n-1+C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))-C(0,n-5)-3C(0,n-9)-5C(0,n-14)-C(0,C(0,C(3,n-17))),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}]

**名無し生涯学習** · 2019/07/18(木) 16:23:43.04

Table[3C(1,(10mod n)-2),{n,1,27}]

{0, 0, 0, 3, 0, 0, 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}

**名無し生涯学習** · 2019/07/18(木) 17:13:00.92

■階段関数（英: step functionまたは英: staircase function）

おおまかに言って、グラフが階段状になる実関数のことである
より正確には、区間上の指示関数が有限個あって、
それらの線型結合で表される関数である

**名無し生涯学習** · 2019/07/19(金) 14:47:41.99

□■■■■■■■■■■
□□■■■■■■■■■
□□□■■■■■■■■
□□□□■■■■■■■
□□□□□■■■■■■
□□□□□□■■■■■
□□□□□□□■■■■
□□□□□□□□■■■
□□□□□□□□□■■
□□□□□□□□□□■

**名無し生涯学習** · 2019/07/19(金) 20:09:24.71

■10x11マス短軸Cピックアップ

107 89
105 88 71
103 86 70 55
101 84 69 54 41
99 82 67 53 40 29
97 80 65 52 39 28 19
95 78 63 50 38 27 18 11
93 76 61 48 37 26 17 10 5
91 74 59 46 35 25 16　9 4 1

>>3 [10,] 2986 2875 134 から

合計2986　☆☆☆

1 5 11 19 29 41 55 71 89 は三角数の位置

三角数の位置との差が最小になるまで
エネルギーレベルが上昇変化

**名無し生涯学習** · 2019/07/19(金) 20:11:32.42

>>212

>>3 [10,] 2986 2875 134 から

合計2986　☆☆☆

**名無し生涯学習** · 2019/07/20(土) 20:24:32.14

floorとsqrtは記号で表示されるから結局短い

**名無し生涯学習** · 2019/07/20(土) 20:48:00.15

>>12>>186

4×5の場合
宝：1個　同等
宝：2～4個　短軸有利
宝：5～13個　長軸有利
宝：14～20個　同等

ボンミス

**名無し生涯学習** · 2019/07/20(土) 22:39:57.37

ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から１枚の
カードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった
そして、残りのカードをよく切ってから
3枚抜き出したところ、3枚ともダイヤであった
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか

※山札からダイヤを12枚引くまでは変わらず1/4で、
13枚目を引いたときに初めて0になる

■正の整数nに対して

Table[(1-C(0,n-13))/4,{n,0,13}]

出力は0≦n≦13の範囲で

{1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 0}

**名無し生涯学習** · 2019/07/20(土) 22:51:59.86

■3枚引いた時まで1/4で、それ以降下がる場合

Table[(n-13)(4n^4-15n^3+107n^2+894n+11880)/(7n^5-250n^4+1325n^3-2330n^2+1248n-617760),{n,0,13}]

0 | 1/4
1 | 1/4
2 | 1/4
3 | 1/4
4 | 359/1440
5 | 1310/5321
6 | 224/941
7 | 464/2087
8 | 1441/7276
9 | 271/1630
10 | 157/1216
11 | 37/418
12 | 1/22
13 | 0

**名無し生涯学習** · 2019/07/20(土) 22:54:21.14

1/4と答える人は、おそらく最初に引いた時点で確率が
固定されているため、後から引いた3枚がダイヤであったことは
関係ないという考えなのだろう
しかし、もっと極端な場合、
後から13枚を引いてそれがすべてダイヤだった場合も
1/4なのだろうか
どう考えても確率は0であろう

実は、後から新情報を得ることで確率は常に変動していく
情報を得たものは確定するからである
確率はもともと賭けから始まった学問である
賭けでは、あらかじめ得られる情報はできるだけ獲得し、
それをすべて考慮したうえで未来の事柄の起こりうる割合を
考えることが重要である

**名無し生涯学習** · 2019/07/20(土) 22:56:22.15

例えば、後から12枚を引いて12枚がすべてダイヤである
という情報を得たとき、最初の1枚をダイヤに賭ける人はいまい
ダイヤが出たという情報を得れば得るほど最初の1枚が
ダイヤである確率は減っていく
もし、盲目の人がいて後から抜いたカードのスートの情報を
得ることができなければ、その人にとっては確率は常に1/4であり、
最初に抜いたカードをどのスートに賭けても同じである

**名無し生涯学習** · 2019/07/20(土) 22:59:04.17

「最初に抜いた」という順番は問題ではない
「表を見ないで箱にしまった」こと、つまり「何の情報も得ていない」
ことが問題なのである
情報が得られていないという点では、最初に抜いた1枚は
残りの48枚と何も変わらない
「3枚がダイヤである」という情報だけを得たという条件つきの
確率であるから、箱の中にしまった最初に抜いたカードが
ダイヤである確率は未知のカード49枚の内の10枚、
つまり10/49なのである

**名無し生涯学習** · 2019/07/21(日) 17:57:54.20

>>31>>32>>182
■式を工夫したら念願のテーブル出力ができた！

Table[sum[C(2n-1+C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))-C(0,n-5)-3(C(0,n-9)+C(1,n-13))-7C(0,n-20)-C(0,C(0,C(4,n-23))),k-1),{n,1,35}],{k,1,16}]

{35, 1210, 27444, 462938, 6168325, 67504568, 623551570, 4960367131,
34509440319, 212525346318, 1169989129225, 5804244923649,
26122841703128, 107268699582069, 403841343528838, 1399743796844505}

**名無し生涯学習** · 2019/07/21(日) 18:36:18.86

8×9の場合
宝：1個　同等
宝：2～22個　短軸有利
宝：23～57個　長軸有利
宝：58～72個　同等

□■■■■■■■■
□□■■■■■■■
□□□■■■■■■
□□□□■■■■■
□□□□□■■■■
□□□□□□■■■
□□□□□□□■■
□□□□□□□□■

**名無し生涯学習** · 2019/07/21(日) 18:37:24.38

短軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2)+7C(0,n-11)+C(1,n-12)+9C(0,n-16)+C(0,C(0,C(5,n-22))),k-1),{n,1,35}],{k,1,12}]

長軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))-C(0,n-5)-3(C(0,n-9)+C(1,n-13))-7C(0,n-20)-C(0,C(0,C(4,n-23))),k-1),{n,1,35}],{k,1,16}]

同等☆

Table[sum[C(2n-1-3C(0,C(0,C(4,n-24)))-8C(0,C(0,C(3,n-20)))-7C(0,n-20),k-2),{n,20,35}],{k,1,72}]+Table[C(71,k-1)+C(1,k),{k,1,72}]

**名無し生涯学習** · 2019/07/21(日) 19:10:58.92

双子素数は無限にあるか？

**名無し生涯学習** · 2019/07/21(日) 19:23:00.64

■双子素数（ふたごそすう、英: twin prime）

差が 2 である二つの素数の組を構成する各素数のことである
双子素数の組は、(2, 3) を除いた、最も近い素数の組である
双子素数を小さい順に並べた列は、次のとおりである

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), …
各組の2素数の平均値（中間の偶数）は、次のとおりである

4, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 72, 102, 108, 138, …

**名無し生涯学習** · 2019/07/22(月) 17:30:22.97

λλΠλΠΣΨΣΨΠΔ

ΣλΠΣΨτΨδζοΓ

**名無し生涯学習** · 2019/07/24(水) 19:42:48.23

■正式なお題

n枚の金貨がある(n≧3).
この金貨の中に1枚だけ重さの軽いものが混ざっているが,
それは他のものと見分けがつかない.
天秤を3回使っても, 重さの軽い金貨を特定出来ないという.
このときnの最小値を求めよ.

残り3枚は1回で調査できるから3回で調査できる
最大のnは3^3=27
重さの軽い金貨を特定出来ないnの最小値は28.

重いのか軽いのか判定できない金貨が
1枚混入している場合は特定するのに軽い時のみの
2倍の難易度になると思われるので

特定出来ないnの最小値は14.（モーダスポネンス）

**名無し生涯学習** · 2019/07/28(日) 16:35:38.22

『n枚の金貨がある(n≧2).
この金貨の中に1枚だけ重さの違うものが混ざっているが,
それは他のものと見分けがつかない.
天秤を3回使っても, 重さの違う金貨を特定出来ないという.
このときnの最小値を求めよ』

**名無し生涯学習** · 2019/07/28(日) 16:36:52.01

■重さの違う金貨を特定出来る最大値は13

天秤に1枚づつ以上載せて釣り合えばその金貨は
正式な金貨であることが確定する

最初に4枚づつ載せて釣り合えばこの8枚は正式が確定
残り5枚の中にニセ金貨がある
傾けばこの8枚の中にニセ金貨がある

ニセを含む5枚の内、3枚と正式な金貨3枚を比べる
釣り合えば残り2枚の内の1枚を情報が確定している
正式な金貨と比べればどの金貨がニセかが確定する

釣り合わなければ、『重いか軽いかが確定している3枚』と
なるので次の一回で確定する

4枚づつ計8枚が傾けば、どちらかに
重いか軽いかの金貨がある

**名無し生涯学習** · 2019/07/28(日) 16:38:21.72

この場合、互いの4枚から1枚づつをエクスチェンジする
そこに情報確定済みの正式な金貨を片側に3枚加えて
4枚づつを計る

釣り合えば正式な金貨3枚の代わりに取り除いた
3枚の金貨が『重いか軽いかが確定している3枚』となるので
次の一回で確定する

傾きが逆になったときはエクスチェンジした金貨がニセ
この二つの金貨のうちどちらかを正式な金貨と比べれば
情報が確定

傾が変化しなければエクスチェンジしなかった3枚の金貨が
『重いか軽いかが確定している3枚』となる

これらの時、ニセ金貨が重いか軽いかも自動判定される

金貨14枚だとさらに1回の調査が必要になる

以上により、
重さの違う金貨を特定出来ないnの最小値は14.

**名無し生涯学習** · 2019/07/28(日) 21:50:28.35

1回で調査可能な最大数は3
2回で調査可能な最大数は8
3回で調査可能な最大数は13
4回で調査可能な最大数は21

0, 3, 8, 13, 21, 34, 47, 64, 84, 105, ...

**名無し生涯学習** · 2019/08/01(木) 17:08:13.89

Table[(3^n-1)/2,{n,1,20}]

{1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29524, 88573,
265720, 797161, 2391484, 7174453, 21523360, 64570081,
193710244, 581130733, 1743392200}

**名無し生涯学習** · 2019/08/01(木) 17:09:22.30

『n枚の金貨がある(n≧2).
この金貨の中に1枚だけ重さの違うものが混ざっているが,
それは他のものと見分けがつかない.
天秤を4回使っても, 重さの違う金貨を特定出来ないという.
このときnの最小値を求めよ』

■重さの違う金貨を特定出来る最大値は40

天秤に1枚づつ以上載せて釣り合えばその金貨は
正式な金貨であることが確定する

最初に13枚づつ載せて釣り合えばこの26枚は正式が確定
残り14枚の中にニセ金貨がある
傾けばこの26枚の中にニセ金貨がある

ニセを含む14枚の内、9枚と正式な金貨9枚を比べる
釣り合えば残り5枚の内の3枚を情報が確定している
正式な金貨と比べる
釣り合えば残り2枚の内の1枚を情報が確定している
正式な金貨と比べればニセが確定
3枚が釣り合わなければ『重いか軽いかが確定している3枚』
となるので次の一回で確定する

**名無し生涯学習** · 2019/08/01(木) 17:11:54.21

ニセを含む9枚と正式な金貨9枚が釣り合わなければ、
『重いか軽いかが確定している9枚』となるので
次の二回で確定する

13枚づつ計26枚が傾けば、どちらかに
重いか軽いかの金貨がある

この場合、互いの13枚から4枚づつをエクスチェンジする
そこに情報確定済みの正式な金貨を片側に9枚加えて
13枚づつを計る

釣り合えば正式な金貨9枚の代わりに取り除いた
9枚の金貨が『重いか軽いかが確定している9枚』となるので
次の二回で確定する

**名無し生涯学習** · 2019/08/01(木) 17:14:04.33

傾きが逆になったときはエクスチェンジした金貨がニセ
この4+4枚の金貨でさらに1枚づつのエクスチェンジを行う
すると
『重いか軽いかが確定している3枚』か『重軽どちらかがある2枚』
となるので、次の一回で確定する

傾が変化しなければエクスチェンジしなかった9枚の金貨が
『重いか軽いかが確定している9枚』となる

これらの時、ニセ金貨が重いか軽いかも自動判定される
（ただし、『重軽どちらかがある2枚』は50％の確率でニセという
情報のみ判定）

金貨41枚だとさらに1回の調査が必要になる

以上により、
重さの違う金貨を特定出来ないnの最小値は41.

**名無し生涯学習** · 2019/08/01(木) 17:15:11.94

/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/

**名無し生涯学習** · 2019/08/02(金) 16:15:22.58

アメミット

**名無し生涯学習** · 2020/02/19(水) 18:05:32.80

Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]

**名無し生涯学習** · 2020/07/16(木) 05:24:55.06

関数fの引数が分数のときだけ1、
その他の引数は全部0
↑
この関数fは初等関数ですか?

**名無し生涯学習** · 2020/07/31(金) 22:12:56.69

２７９

**名無し生涯学習** · 2020/08/01(土) 17:15:36.15

そうだよ

**名無し生涯学習** · 2021/08/09(月) 16:33:30.56

２８１

**名無し生涯学習** · 2022/08/12(金) 21:40:34.76

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