■初等関数研究室■
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初等関数(しょとうかんすう、英: Elementary function)とは、 実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、 三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを 有限回繰り返して得られる関数のことである ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない 初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という 双曲線関数やその逆関数も初等関数である 初等関数の導関数はつねに初等関数になる ■■■■■■■■■■■ ■□□□□□□□□□■ ■□■■■■■■■□■ ■□■□□□□□■□■ ■□■□■■■□■□■ ■□■□■□□□■□■ ■□■□■■■■■□■ ■□■□□□□□□□■ ■□■■■■■■■■■ ■■■■■■ □□□□□■ □■■■□■ □■□□□■ □■■■■■ ■Obituary - John Forbes Nash, Jr. (1928 - 2015) Swarajya-2015/05/25 Nash is mostly known for his equilibrium concept called as “Nash Equilibrium”. For many years before his seminal paper, legends like von Neumann were working on the theory of games with a special focus on Zero-sum games. (n(n+1)/2-1)^2+(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48 (n(n+1)/2-1)^2+(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48 合流型超幾何微分方程式 (confluent hypergeometric differential equation) Table[((-1)^n-(1+2 i)(-i)^n-(1-2 i)i^n+9)/4,{n,1,60}] {1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2} トランプの束がある 2〜10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、 ジョーカーのカードが24枚ある 全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が 書かれている確率はいくらか Sum[choose(24,k)*choose(9,12-k)*4^(12-k),{k,3,12}]/(choose(60,12)) Sum[C(24,k)C(9,12-k)4^(12-k),{k,3,12}]/(C(60,12)) 出力 7371811052/66636135475 153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+78(24!!) 153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+3(26!!) 53760=512(7!!) ■スイッチング関数 Table[-C(1,n-2)+C(1,n-5)+C(1,n-9)+C(1,n-10),{n,1,10}] {0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2} Table[(E^(I n Pi)(2+n+E^(I n Pi)(4+n)))/2,{n,1,56}] {1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, 21, 1, 23,1, 25, 1, 27, 1, 29, 1, 31, 1, 33, 1, 35, 1, 37, 1, 39, 1, 41, 1, 43, 1, 45, 1, 47, 1, 49, 1, 51, 1, 53, 1, 55, 1, 57, 1, 59} ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4] Piはπ a_n=(2n+(-1)^(n+1)+1)/4 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1/4(2n+e^(iπ(n+1))+1) (1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4 1/4(2n+e^(i πn+i π)+1) (1+E^(I Pi+I nPi)+2n)/4 ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4] 1/4(2n+e^(iπ n+iπ)+1) n/2-1/4 i sin(π n)-1/4 cos(π n)+1/4 ComplexExpand[(1+E^(I Pi+I n Pi)+2 n)/4] 1/4+n/2-Cos[n Pi]/4-(I/4) Sin[n Pi] ■NPN-同値類(NPN-equivalent class)または NPN-同値関数(NPN-equivalent function). (1)一部またはすべての入力変数の否定(Negation) (2)一部またはすべての入力変数の順序の変更(Permutation) (3)出力結果の否定(Negation) 論理代数のことをブール代数(Boolean algebra)と 呼ぶことがしばしばある 1劫年(349京2413兆4400億年) ■□■ ■□■ □■■ 1不可説不可説転=10^(7 2^122) 1グーゴルプレックス=10^(10^100) 1不可説不可説転 ↓ 10^37218383881977644441306597687849648128 Table[1,{n,0,13}] {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Table[5,{n,0,13}] {5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5} 「シミュレーテッド分岐アルゴリズム」(Simulated Bifurcation, SB) Sum[(-2)^k((n-k)/k!),{k,0,-1+n}] Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}] Table[Γ(n+1,-2)/(e^2Γ(n))+((-2)^(n+1)+(2Γ(n+1,-2))/e^2)/Γ(n+1),{n,1,20}] (n+2)sum[k=0,n](-2)^k/k!+(-2)^(n+1)/n! (n+2)sum[(-2)^k/k!,{k,0,n}]+(-2)^(n+1)/n! ■ベイズの公式から Table[(13-n)/(52-n),{n,0,13}] ……@ 出力 {1/4, 4/17, 11/50, 10/49, 3/16, 8/47, 7/46, 2/15, 5/44, 4/43, 1/14, 2/41, 1/40, 0} この出力をすべて含んだ式 Table[(n-13)(3a+4n+3)/(7n^2-208n-156a-156),{a,0,11},{n,0,13}] ……A ∵[0≦a≦11] @の出力はすべてAの出力に含まれる Table[(C(0,n)+C(0,n-a-1))(n-13)(3a+4n+3)/(7n^2-208n-156a-156),{a,0,11},{n,0,13}] 37×3=111 37×6=222 37×9=333 37×12=444 37×15=555 37×18=666 37×21=777 37×24=888 37×27=999 271×41=11111 271×82=22222 271×123=33333 271×164=44444 271×205=55555 271×246=66666 271×287=77777 271×328=88888 271×369=99999 8547×13=111111 8547×26=222222 8547×39=333333 8547×52=444444 8547×65=555555 8547×78=666666 8547×91=777777 8547×104=888888 8547×117=999999 レピュニット とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである 名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、 1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである 1111111=239×4649 11111111111=21649×513239 ■1000!は何桁ですか? ceil(log10(1000!)) 十分大きなnに対してはa^n<n!<n^nということを使って、 10^1000<1000!<1000^1000=10^3000 1000桁以上3000桁以下といってもいい この方法はwolframで計算できないほど大きい階乗にも使える 10^10^10<(10^10)!<(10^10)^10^10=10^10^11 (10^10)!は10 000 000 000桁以上、100 000 000 000桁未満 Table[choose(1,k),{k,1,12}] k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 binomial(1, k) | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 あるタクシー会社のタクシーには 1から通し番号がふられている タクシー会社の規模から保有タクシー台数は 100台以下とわかっている(弱情報事前分布) この会社のタクシーを5台みかけた 最大の番号が60であった この会社の保有するタクシー台数の期待値と 95%信用区間を求めよ Sum[n C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}] =2590100/36231≒71.4885 Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,92}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}] =12478719715/13176622927≒0.947035 Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,93}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}] =13148689015/13768830699≒0.95496 C: 複素数全体 R: 実数全体 Q: 有理数全体 Z: 整数全体 N: 自然数全体 使用例. 1 ∈ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. 数学においてガンマ関数(英: Gamma function)とは、 階乗の概念を複素数全体に拡張した特殊関数である 互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、 1729年、数学者レオンハルト・オイラーが階乗の一般化として、 最初に導入した Table[{1-n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)(n-11)(n-12)/13!}/4,{n,0,13}] Table[(1-C(0,n-13))/4,{n,0,13}] 同じ出力で遥かに式を短くできる n個のものからk個取り出す場合の数と k個取り残す場合の数は等しい C(n,k)=C(n,n-k) Table[1,{n,0,13}] {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Table[5,{n,0,13}] {5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5} なんだこれは(/・ω・)/ 0,1の2値を扱う論理代数は,論理回路の設計や 解析を行う上での数学的基礎を与えるものである. 19世紀にBooleにより論理代数(いわゆるブール代数)が 体系化され,更に20世紀中頃になり,Shannonにより 論理代数に基づく論理回路設計法が示された. それ以降,様々な論理設計のための技法が 研究開発されている. 近年では,それらの多くの技法は,計算機上に プログラムとして実装され,人手で扱うことが到底困難な 大規模な論理回路を,計算機の力を借りて現実的な 処理時間で設計することが可能になってきている. しかし,任意の問題に対する完全な設計自動化は 困難であるため,依然として人間の関与も必要である. 論理回路設計の仕組みについても設計者がある程度理解し, 設計自動化プログラムを利用しながら,不満足な部分を 人間が補完していく必要があると考えられる. ■二項係数の間の等式 C(a,b)=(-1)^b C(b-a-1,b) C(-a,b)=(-1)^b C(b+a-1,b) Chu-Vandermonde identityにより 式をトランスフォーム Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] Table[sum[(-1)^(k-1)C(k-2n-1-C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 0 | 5 | 26 | 73 | 133 | 167 | 148 | 91 | 37 | 9 | 1 | 0 | 0 「det」は、行列式の英語に当たる ”determinant”に由来します n人掛けの長いすがある ここに、2人組のカップルがつぎつぎとランダムな 位置に座っていく 但し、各カップルは隣り合って座り、1人が1人分の椅子を占有し、 一度座ったら動かないものとする もし、左から3,4人目のところにカップルが座り、6,7人目の ところにもカップルが座ると、5人目のところは使えないままと なることになる このように各カップルはランダムな位置を占有しながら、 座れなくなるまでカップルは座っていく このとき、最後に左右が埋まって空席のまま 使われず残る椅子の数はいくつになると期待されるか、 nで表せ a_n=Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}] いま、n人掛けの椅子はa_n人分のスペースが 孤立して残ると期待されるとする 例えば、n=0では誰も座れずa_0=0となり、 n=1ではやはりカップルは座れないが椅子は余るのでa_1=1、 n=2ではカップルが一組座って終わりなのでa_2=0、 n=3でも座れるカップルは一組だが1人分スペースが余るので a_3=1となる もし、一番最初のカップルが片端からk+1,k+2個目を 占有したとしたらどうなるだろうか これは、その端からk個目までのk個と、 k+3個目から反対端までのn-k-2個が分断される ことを意味する つまり、k人掛けの椅子とn-k-2人掛けの椅子がある という状況と同一視できる Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}] 重合度nのPVA(ポリビニルアルコール)があるとする ここに、大過剰のホルムアルデヒド(HCHO)を用いて架橋を行う 即ち、各HCHO分子はPVAの隣り合う2つのOH基を架橋する PVAのOH基をHCHOで架橋したものはビニロンと呼ばれる繊維になり、 残存するOH基の量に応じて吸水性などのパラメータが変わる ここで、各HCHO分子は全くランダムな位置を架橋していくとし、 PVA とは架橋以外の相互作用をしないとする もし、片端から3,4つ目のOHが架橋され、その後 6,7つ目のOHも架橋されたとすると、HCHOは5つ目のOHを 架橋できないことになる(隣り合うOHの架橋以外の相互作用を 認めないという仮定を用いた) HCHO は大過剰存在するので、隣り合うOHがなくなるまで 架橋は進むとする このとき、全てのOHの内、いくつが架橋されずに残ると 期待されるかnで表せ >>84 と>>86 は 本質的に同じ問題として解くことができる ■古典的確率模型 Ω={ω1,ω2, . . . ,ωn}(有限集合) B=2^Ω(Ωのべき集合;Ωの部分集合すべてからなる集合族) P(A)=#A/#Ω,A∈B(#Aは集合Aの元の個数) この確率空間(Ω,B,P)を古典的確率模型という サイコロを1回投じる Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, P({ω})=1/6(∀ω∈Ω). P(奇数の目が出る)=P({1, 3, 5})=#{1, 3, 5}/#Ω=3/6=1/2. コインを2回投げる Ω={HH, HT, TH, TT},P({ω})=1/4(∀ω∈Ω). (Hは表(head),Tは裏(tail)を意味する) (a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c) a^4-2a^2b^2-2a^2c^2+b^4-2b^2c^2+c^4 一方、もしk人掛けの椅子ではx人分、n-k-2人掛けではy人分、 孤立したスペースを生じると期待されるとすれば、k人掛けの椅子と n-k-2人掛けの椅子が両方あればx+y人分の孤立スペースが 出来ると期待される 以上より、最初のカップルがk+1,k+2個目を占有したなら、 孤立して残るスペースはa_k + a_n-k-2人分と期待される 各位置に座る確率はまったくランダムであるから、 この事象は1/(n-1)の確率でおきる 故に、a_nはa_0,a_1, ・ ・ ・a_n-2を用いて次のように表せる a_n=(1/(n-1))sum[a_k + a_n-k-2,{k,0,n-2}] =(2/(n-1))sum[a_k,{k,0,n-2}] この式をより簡潔にする 両辺をn-1倍した式について、nにn+2を代入した式から n+1を代入した式を引く (n-1)a_n=2sum[a_k + a_n-k-2,{k,0,n-2}] (n+1)a_n+2 - na_n+1=2sum[a_k,{k,0,n}]-2sum[a_k,{k,0,n-1}]=2a_n ∴(n+1)a_n+2=na_n+1 + 2a_n ■a_nの評価 a_n=Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}] =(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,n-1}]-Sum[(-2)^k/(k-1)!,{k,1,n-1}] ■n→∞の極限を考える a_n≒(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,∞}]+(2)Sum[(-2)^(k-1)/(k-1)!,{k,1,∞}] =n/e^2 + 2/e^2=(n)e^(-2) + (2)e^(-2)≒(n)e^(-2) 従って、nが十分大きい時、a_n即ち孤立した椅子の数は 全体のe^(-2)という割合になると考えられる モックテータ関数は、S. Ramanujan が1920年に G. H. Hardy へ宛てた 最後の手紙、および Ramanujan の「失われたノート」と呼ばれる 草稿中で、初めて言及した関数である ■有限単純群モンスター モンスターとは、およそ8.08×10^53個,正確には 2^46・3^20・5^9・7^6・11^2・13^3・17・19・23・29・31・41・47・59・71= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000個の 元からなる巨大な群である ちなみにアボガドロ定数はおよそ6.02 ×10^23である モンスターは豊かな構造をもつ興味深い研究対象である ガンマ関数 Γ η δ Π ε α β z^5 - z^4 + z^2 + 1 20世紀中頃になり,Shannon により論理代数に 基づく論理回路設計法が示された. ComplexExpand[(1+E^(I Pi+I n Pi)+2 n)/4] (1+E^(I Pi+I nPi)+2n)/4 K3曲面は超弦理論のコンパクト化で基本的な役割を果たす 事が知られているが、最近その位相的不変量である 楕円種数に面白うことが分かった K3曲面上の超弦理論は N=4 共形不変性を持つため楕円種数を N = 4 共形代数の指標で展開してその展開係数を調べると、 これらがマシュー群M24と呼ばれる離散群の規約表現の 次元の和に分解できる これはモジュラーJ関数のq展開の係数がモンスター群の 規約表現の和に分解されるいわゆるMonsterous Moonshine と呼ばれる現象に良く似ている 有限単純群にはいくつかの無限系列と26個の例外があり、 例外中で最大のものがモンスターである 1970年代前半に有限単純群の分類の試みの中でモンスターが 発見された後、1970年代後半になってムーンシャインとよばれる 不思議な現象が見出された http://imetrics.co.jp/opinion/MonsterousMoonshine.pdf Monsterous moonshine は70年代後半に発見され 10数年かけて数学者によって解決された Mathieu moonshine の現象はその起源や意味がまだ全く不明である 最近は拡張されて Umbral moonshine, Enriques moonshine なども 見つかっている 文献 http://shochandas.xsrv.jp/divisor/somos.htm 数学セミナー 1993年3月号, 日本評論社, 「エレ解」 一松 信 「初等関数概説−いろいろな関数−」 森北出版(1998) p.84-87 187p.2268円 Table[C(n mod2,n mod3),{n,1,10}] {1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0} ■4x5マス式を短縮 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1)+C(0,n-3)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] {9, 83, 453, 1753, 5075, 11353, 20057, 28400, 32528, 30250, 22803, 13831, 6657, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0} Table[((-2)^(1+n)E^2+2Gamma[1+n,-2]+n Gamma[1+n,-2])/(E^2 n!),{n,1,28}] Table[(e^2(-2)^(n+1)+n Γ(n+1,-2)+2 Γ(n+1,-2))/(e^2 n!),{n,1,28}] {1, 0, 1, 2/3, 1, 16/15, 11/9, 142/105, 67/45, 4604/2835, 2771/1575, 59086/31185, 86327/42525, 4389248/2027025, 7533469/3274425, 222205682/91216125, 109456873/42567525, 2670957188/986792625, 16332117629/5746615875, 614053057522/206239658625, 1520442379271/488462349375, 126606575859992/38979295480125, 345404844856129/102088631019375, 15773069242557338/4482618980214375, 23501345644011017/6431583754220625, 4671255121834288564/1232720219558953125, 7547413632563686237/1923043542511966875, 23846953668187649602/5873549281427953125} ■フィボナッチ数列(英: Fibonacci sequence) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … Fn=(1/sqrt(5))(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n) 384=8!! 53760=2(10!!)+12!! 8755200=8(12!!)+13(14!!) 1805690880=15(14!!)+12(16!!)+9(18!!) 471092428800=10(16!!)+15(18!!)+16(20!!)+5(22!!) Π[j=1 to n]Π[k=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)} 無限個の部屋があるホテルに無限の人数客が泊まって 満室の状態だと思って下さい そこに1人の客が泊まりにきました そこで、既に泊まっている全員に隣の部屋に 移動してもらうことで、その人を泊めることができました 長軸は三角数1,3,6,10,15,21の位置で1上がる仕掛けを modに置き換えると式が短くできる 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,n-2)-C(0,n-5),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] {9, 83, 453, 1753, 5075, 11353, 20057, 28400, 32528, 30250, 22803, 13831, 6657, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0} 1以上22以下の自然数の集合をSとする Sの部分集合Tで、次の条件を満たすものを考える [条件] Tに属する任意の2つの要素の差は4でも7でもない Tの要素数の最大値はいくらか 1 5 9 13 17 21 2 6 10 14 18 22 3 7 11 15 19 4 8 12 16 20 Haskell 先生の答え Prelude> let nextSub (x, y) = [(a,b)|i<-y,let a = i:x,let b = [j|j<-y,j>i,j/=i+4,j/=i+7]] Prelude> let next x = concat $ map nextSub x Prelude> let sols = iterate next [([],[1..22])] Prelude> mapM_ print $ sols !! 10 ([21,18,15,13,12,10,7,4,2,1],[]) ([21,20,18,15,12,10,7,4,2,1],[]) ([21,18,16,15,13,10,7,4,2,1],[]) ([21,19,18,16,13,10,7,4,2,1],[]) ([22,21,19,16,13,10,7,4,2,1],[]) ([20,17,15,14,12,9,6,4,3,1],[]) ([22,20,17,14,12,9,6,4,3,1],[]) ([20,18,17,15,12,9,6,4,3,1],[]) ([21,20,18,15,12,9,6,4,3,1],[]) ([22,20,19,17,14,9,6,4,3,1],[]) ([22,20,17,14,12,11,9,6,3,1],[]) ([22,20,19,17,14,11,9,6,3,1],[]) ([20,18,17,15,12,9,7,6,4,1],[]) ([21,20,18,15,12,9,7,6,4,1],[]) ([21,20,18,15,12,10,9,7,4,1],[]) ([22,19,16,14,13,11,8,5,3,2],[]) ([22,21,19,16,13,11,8,5,3,2],[]) ([22,19,17,16,14,11,8,5,3,2],[]) ([22,20,19,17,14,11,8,5,3,2],[]) ([21,18,16,15,13,10,7,5,4,2],[]) ([21,19,18,16,13,10,7,5,4,2],[]) ([22,21,19,16,13,10,7,5,4,2],[]) ([21,19,18,16,13,10,8,7,5,2],[]) ([22,21,19,16,13,10,8,7,5,2],[]) ([22,21,19,16,13,11,10,8,5,2],[]) ([22,19,17,16,14,11,8,6,5,3],[]) ([22,20,19,17,14,11,8,6,5,3],[]) ([22,20,19,17,14,11,9,8,6,3],[]) Prelude> length $ sols !! 10 28 Table[(1/16)[{1-(-1)^n}{(n+15)-(n-9)i^(n+1)}+8{1+(-1)^n}(3+i^n)],{n,1,20}] {1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4} Table[1/4(1-binomial(0,n-13)),{n,0,13}] Table[(1-Binomial[0,-13+n])/4,{n,0,13}] Table[Factor[(2+(-1)^n+(-1)^(1+n)-2Binomial[0,-13+n])/8],{n,0,13}] P1stとQ1stは、『宝一つの時の自陣当たり数』の二乗と それぞれの差分を表す関数の和で求められる https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560604951/2-4 数学板であればこの回答は示しておきたいところ しかし昨今、プログラムに頼りすぎて単純なロジックが 見えづらくなっていると思われる Table[Sum[Binomial[n, i]*(2*n-i)!/2^(n-i)*(-1)^(n-i)/n!, {i, 0, n}], {n, 0, 20}] {1, 0, 1, -5, 36, -329, 3655, -47844, 721315, -12310199, 234615096, -4939227215, 113836841041, -2850860253240, 77087063678521, -2238375706930349, 69466733978519340, -2294640596998068569, 80381887628910919255, -2976424482866702081004, 116160936719430292078411} Table[-i*(BesselK[3/2,1]*BesselI[n+3/2,-1] - BesselI[3/2,-1]*BesselK[n+3/2,1]), {n, 0, 20}] {0, 1, 5, 36, 329, 3655, 47844, 721315, 12310199, 234615096, 4939227215, 113836841041, 2850860253240, 77087063678521, 2238375706930349, 69466733978519340, 2294640596998068569, 80381887628910919255, 2976424482866702081004, -i (I_(41/2)(-1) K_(3/2)(1) - I_(3/2)(-1) K_(41/2)(1)), -i (I_(43/2)(-1) K_(3/2)(1) - I_(3/2)(-1) K_(43/2)(1))} なんだこれは(/・ω・)/ Table[sum[C(2n-1,k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]+Table[C(2,k-2),{k,1,12}] {5, 26, 72, 131, 166, 148, 91, 37, 9, 1, 0, 0} Table[sum[C(2n-1,k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]+Table[C(3,k-2),{k,1,12}] {5, 26, 73, 133, 167, 148, 91, 37, 9, 1, 0, 0} Table[sum[C(2n-1-C(0,n-5)-3C(0,n-9)-5C(0,n-14)-C(1,n-17)-C(1,n-19),k-1),{n,1,27}],{k,1,5}]+Table[sum[C(n(n+1)-1,k-2),{n,1,6}],{k,1,5}] {27, 722, 12546, 161494, 1634573} Table[sum[C(2n-1-C(0,n-5)-3C(0,n-9)-5C(0,n-14)-C(1,n-17)-C(1,n-19),k-1),{n,1,27}],{k,8,10}]+Table[sum[C(n(n+1)-1,k-2),{n,1,6}],{k,8,10}] {558773693, 2890925540, 13162957237} 7 * 8 [8] : 558773693 7 * 8 [9] : 2890925540 7 * 8 [10] : 13162957237 Table[choose(17,k-1)+choose(15,k-1)+choose(13,k-1)+choose(11,k-1)+choose(10,k-1)+choose(8,k-1)+choose(5,k-1)+choose(4,k-1)+choose(1,k-1),{k,1,20}] chooseを一つにした式に変形できますか? 三つならできた 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+C(1,n-4),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] ■真理値表(truth table) ■積和形論理式(sum-of-products form) ■二分決定グラフ(BDD, Binary Decision Diagram) 論理式は,ある一つの論理関数を何通りにも表せるが, これによって表せない論理関数はない. つまり任意の論理関数に対して,それを表す論理式が 少なくとも一つは存在する. すなわち,論理式は論理関数の完全(complete) (または万能(universal))な表現であるといえる. 1 章 論理代数と論理関数 - 電子情報通信学会知識ベース http://www.ieice-hbkb.org/files/01/01gun_08hen_01.pdf Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1)+C(0,n-3)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1-C(0,n-5),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]+Table[sum[C(n(n+1)-1,k-2),{n,1,3}],{k,1,20}] {9, 83, 453, 1753, 5075, 11353, 20057, 28400, 32528, 30250, 22803, 13831, 6657, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0} +Table[sum[C(n(n+1)-1,k-2),{n,1,3}],{k,1,20}]は 長軸三角数位置1アップ関数 同じく3×4の場合 Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] Table[sum[C(2n-1,k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]+Table[sum[C(n(n+1)-1,k-2),{n,1,2}],{k,1,12}] {5, 27, 76, 140, 176, 153, 92, 37, 9, 1, 0, 0} Table[2n-1+{(n+2)mod4},{n,1,10}] {4, 3, 6, 9, 12, 11, 14, 17, 20, 19} Table[-3C(0,n-1)+3C(1,n-10),{n,1,10}] {-3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3} 上式と下式を合成する Table[2n-1+{(n+2)mod4}-3C(0,n-1)+3C(1,n-10),{n,1,10}] {1, 3, 6, 9, 12, 11, 14, 17, 20, 22} Table[C(1,(10mod n)-2),{n,1,9}] {0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0} Table[C(0,(11mod n)-1),{n,1,9}] {0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0} ☆☆☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,n-2)-C(0,n-5),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,(11mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] {9, 83, 453, 1753, 5075, 11353, 20057, 28400, 32528, 30250, 22803, 13831, 6657, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0} 3×4の場合 宝:1個 同等 宝:2〜7個 長軸有利 宝:8〜12個 同等 □■■■ □□■■ □□□■ Table[C(0,(21mod n)-1),{n,1,9}] {0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0} ☆☆☆☆☆ >>128 二つにできた Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] {9, 84, 463, 1776, 5076, 11249, 19797, 28057, 32243, 30095, 22749, 13820, 6656, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0} Table[C(-1,n),{n,1,10}] {-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1} Table[C(-2,n),{n,1,10}] {-2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9, -10, 11} a_n = (-1)^n (n+1) {-2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9, -10, 11} FindSequenceFunction[{-2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9, -10, 11}, n] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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