ごめん、最初のレスだけ読んだけど質問に対しての返答じゃなさそうな感じか続きそうだったので直接労基署に確認した話を

派遣会社でも労災加入は義務だそう。
ただ、労災申請を渋ってるなら何か裏はあるとのこと
だから本人が直接労基署に相談して労災申請してもらえばいいそうです。
面倒だと思えば申請せずにそこの派遣やめればよさそう

個人的な意見だとやっぱり派遣は所詮使い捨てだから今後の人生に関わるケガ以外は仕事変えたほうがよさげだね