>無い袖は振れないので、超過勤務手当は払えない。

このあたりが、民間で働いたことがない人の無知だね。
民間では「職務手当」という制度がある。
営業、研究、企画職などは、個別の勤務時間のカウントせずに、「みなし残業」で精算する制度があるんだよ。
むろん、休日出勤部分は勤務振替や代休、あるいは超過勤務手当で処理するが、民間ならば「事業所カレンダー」の設定で、必要な日はあらかじめ「勤務を要する日」と設定することができる。（要は年間106日分の休日があればいいわけな）
超過勤務手当を個別に支給する制度ももちろん考えられるが、民間では「超過勤務は、上司が超過勤務を命じた」でしか支給されない。
「己のミスで、その後始末が時間外に食い込んだ」ような部分は「恥ずかしくて、超過勤務にしてください（命じてください）」などとは、恥ずかしくて言い出さないのが「組織人としての常識」というものです。
ですから、超過勤務手当が「青天井でつく」わけではありません。
いよいよ、人が足りない、状況になれば「新たに人件費が安い非正規雇用」で雇えばいいだけです。