無料部屋が満室で、緊急性がなく、でも入院したいから同意書署名して有料に入ったなら
気の毒に思っても市立病院の職員が特別扱いできる権限はないでしょう？
分割でも無理なら、>>591(2)で行政機関間で話をつけてもらうといいかな。
連帯保証人に請求される前に話をしておいたほうがいいと思う。