労働契約書とか、給与明細はダウンロードし保存しておいた方がいいよ。
日々紹介というのが、離職票も出せないよう様なブラックに近いグレーだから、
もし、申請に支障があったら、社労士さん、伝手があれば、
地元の区議さんに相談すれば取り上げてくれますよ。