>>864
食ぶ バ行下二段活用活用{べ/べ/ぶ/ぶる/ぶれ/べよ}
「にける」は完了の助動詞「ぬ」の連用形+過去の助動詞「けり」
完了の助動詞「ぬ」は活用語の連用形に接続

したがって「食べにける」は文法上ありです。