■初等関数研究室■
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初等関数(しょとうかんすう、英: Elementary function)とは、 実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、 三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを 有限回繰り返して得られる関数のことである ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない 初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という 双曲線関数やその逆関数も初等関数である 初等関数の導関数はつねに初等関数になる P1stとQ1stは、『宝一つの時の自陣当たり数』の二乗と それぞれの差分を表す関数の和で求められる ■P1stを求める 宝一つの時の自陣当たり数 n(n+1)/2-1 ……@ P1stは@^2と差分の和 差分は0 0 1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203 252 308 372 444 525 615…… それを表す関数 (4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48 ……A 計算知能で@^2+Aを入力すると ∴P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48 ■Q1stを求める 宝一つの時の自陣当たり数 n(n+1)/2-1 ……@ Q1stは@^2と差分の和 差分は0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113 -148 -189…… それを表す関数は (-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48 ……B 計算知能で@^2+Bを入力すると ∴Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48 ■evenを求める evenは、n(n+1)-1と同着数の和 同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25…… これを表す関数は {2n^2-1+(-1)^(n)}/8 ……C n(n+1)-1 ……D 計算知能でC+Dを入力すると ∴even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8 P1st Q1st even [1,] 0 0 1 [2,] 4 5 6 [3,] 26 27 13 [4,] 84 83 23 [5,] 203 197 35 [6,] 413 398 50 [7,] 751 722 67 [8,] 1259 1210 87 [9,] 1986 1910 109 [10,] 2986 2875 134 [11,] 4320 4165 161 [12,] 6054 5845 191 [13,] 8261 7987 223 [14,] 11019 10668 258 [15,] 14413 13972 295 [16,] 18533 17988 335 [17,] 23476 22812 377 [18,] 29344 28545 422 [19,] 36246 35295 469 [20,] 44296 43175 519 Table[(12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51)/48,{n,1,20}] Table[(12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3)/48,{n,1,20}] Table[(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8,{n,1,20}] 2×3の場合 宝:1個 同等 宝:2〜3個 長軸有利 宝:4〜6個 同等 □■■ □□■ 短軸有利☆ Table[C(3,k-1)+C(1,k-1),{k,1,6}] {2, 4, 3, 1, 0, 0} 長軸有利☆ Table[C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,6}] {2, 5, 4, 1, 0, 0} 同等☆ Table[C(5,k-1)+C(3,k-2)+C(1,k),{k,1,6}] {2, 6, 13, 13, 6, 1} 2 * 3 [2] : 4 , 5 , 6 2 * 3 [3] : 3 , 4 , 13 > sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] 短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0 長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0 同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1 □■■■ □□■■ □□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] 同等☆ Table[C(11,k-1)+C(9,k-2)+C(7,k-2)+C(1,k),{k,1,12}] ガンマ関数とベータ関数 https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/ ~nkiyono/2006/miya-gamma.pdf > sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] 短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749 長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803 同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408 [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] 短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0 長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0 同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1 4×5の場合 宝:1個 同等 宝:2〜5個 短軸有利 宝:6〜13個 長軸有利 宝:14〜20個 同等 □■■■■ □□■■■ □□□■■ □□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+C(1,n-4),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 同等☆ Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}] 5×6の場合 宝:1個 同等 宝:2〜8個 短軸有利 宝:9〜21個 長軸有利 宝:22〜30個 同等 □■■■■■ □□■■■■ □□□■■■ □□□□■■ □□□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod7)+3C(0,n-4)+C(1,n-7),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2)-2C(0,n-5)-C(1,n-8),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}] 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-9),k-2),{n,9,14}],{k,1,30}]+Table[C(29,k-1)+C(1,k),{k,1,30}] 5 * 6 [2] : 203 , 197 , 35 5 * 6 [3] : 1801 , 1727 , 532 5 * 6 [4] : 11418 , 11008 , 4979 5 * 6 [5] : 55469 , 54036 , 33001 5 * 6 [6] : 215265 , 211894 , 166616 5 * 6 [7] : 685784 , 680768 , 669248 5 * 6 [8] : 1827737 , 1825076 , 2200112 5 * 6 [9] : 4130886 , 4139080 , 6037184 5 * 6 [10] : 7995426 , 8023257 , 14026332 5 * 6 [11] : 13346984 , 13395944 , 27884372 5 * 6 [12] : 19312228 , 19372871 , 47808126 5 * 6 [13] : 24301031 , 24358063 , 71100756 5 * 6 [14] : 26642430 , 26684251 , 92095994 5 * 6 [15] : 25463979 , 25488051 , 104165490 6×7の場合 宝:1個 同等 宝:2〜12個 短軸有利 宝:13〜31個 長軸有利 宝:32〜42個 同等 □■■■■■■ □□■■■■■ □□□■■■■ □□□□■■■ □□□□□■■ □□□□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+5C(0,n-7)+C(1,n-11)+C(1,n-13),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2 mod12)-2C(0,n-5)-3C(0,n-9)-C(1,n-12),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}] 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-14)-3C(0,n-13)-8C(0,n-12),k-2),{n,12,20}],{k,1,42}]+Table[C(41,k-1)+C(1,k),{k,1,42}] 6 * 7 [2] : 413 , 398 , 50 6 * 7 [3] : 5328 , 5070 , 1082 6 * 7 [4] : 49802 , 47536 , 14592 6 * 7 [5] : 361511 , 347863 , 141294 6 * 7 [6] : 2125414 , 2063677 , 1056695 6 * 7 [7] : 10409448 , 10191338 , 6377542 6 * 7 [8] : 43330401 , 42718984 , 31980800 6 * 7 [9] : 155608539 , 154251591 , 136031680 6 * 7 [10] : 487675145 , 485359843 , 498407985 6 * 7 [11] : 1345799489 , 1343074613 , 1591687274 6 * 7 [12] : 3293603485 , 3292560662 , 4471952741 6 * 7 [13] : 7189071864 , 7193592264 , 11136067152 6 * 7 [14] : 14059388483 , 14074085203 , 24726755394 6 * 7 [15] : 24725171790 , 24753058778 , 49194197048 6 * 7 [16] : 39214892052 , 39255073592 , 88039755958 6 * 7 [17] : 56218716543 , 56265877603 , 142177333010 6 * 7 [18] : 72972907098 , 73019303768 , 207704910184 6 * 7 [19] : 85862179541 , 85900953866 , 275012177393 6 * 7 [20] : 91643393740 , 91671084359 , 330477129321 6 * 7 [21] : 88747779232 , 88764701159 , 360745394049 7×8の場合 宝:1個 同等 宝:2〜16個 短軸有利 宝:17〜43個 長軸有利 宝:44〜56個 同等 □■■■■■■■ □□■■■■■■ □□□■■■■■ □□□□■■■■ □□□□□■■■ □□□□□□■■ □□□□□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod18)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-16)+C(1,n-18),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1 mod14)+C(0,n-3 mod18)+3C(1,n-5)+3C(1,n-9)-19C(0,n-14)-C(1,n-17)-C(1,n-19),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}] 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-20)-3C(1,n-18)-8C(1,n-16),k-2),{n,16,27}],{k,1,56}]+Table[C(55,k-1)+C(1,k),{k,1,56}] 7 * 8 [2] : 751 , 722 , 67 7 * 8 [3] : 13213 , 12546 , 1961 7 * 8 [4] : 169815 , 161494 , 35981 7 * 8 [5] : 1708176 , 1634573 , 477067 7 * 8 [6] : 14026034 , 13521709 , 4920693 7 * 8 [7] : 96716833 , 93921622 , 41278945 7 * 8 [8] : 571625198 , 558773693 , 290095184 7 * 8 [9] : 2940723248 , 2890925540 , 1744319612 7 * 8 [10] : 13327198939 , 13162957237 , 9116895304 7 * 8 [11] : 53717709609 , 53254225291 , 41930280380 7 * 8 [12] : 194070976396 , 192951568390 , 171360762514 7 * 8 [13] : 632475500322 , 630177011156 , 627260220922 7 * 8 [14] : 1869295969469 , 1865362789969 , 2070073204362 7 * 8 [15] : 5032748390589 , 5027434867987 , 6193066240064 7 * 8 [16] : 12389874719763 , 12385213035831 , 16873864084671 7 * 8 [17] : 27980641402960 , 27981556314178 , 42035336024662 7 * 8 [18] : 58125229289763 , 58139877526913 , 96062882957224 7 * 8 [19] : 111326498505381 , 111364943071921 , 201964537970498 7 * 8 [20] : 196977669970830 , 197048666795639 , 391587225396961 7 * 8 [21] : 322510102010304 , 322617018858127 , 701638985697449 7 * 8 [22] : 489306306855569 , 489444206271532 , 1163831929136799 7 * 8 [23] : 688690248074025 , 688846020744196 , 1789759515397979 7 * 8 [24] : 900050700996225 , 900206640621300 , 2554774361679750 7 * 8 [25] : 1092975958236546 , 1093115221856691 , 3388349400127275 7 * 8 [26] : 1233862233565383 , 1233973593552186 , 4178612556991503 7 * 8 [27] : 1295273249461927 , 1295353120172050 , 4794316279376103 7 * 8 [28] : 1264553645519991 , 1264605044607097 , 5119531910633352 同等8 * 9 [18] : 14798849190259080 短軸8 * 9 [18] : 13325129660655316 長軸8 * 9 [18] : 13308110914669040 から誤差がある ■8x9マスで宝マックス72個テーブルも一瞬で表示 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-12)+9C(0,n-16)+C(1,n-22)+C(1,n-24)+C(1,n-26),k-1),{n,1,35}],{k,1,72}] {35, 1259, 28901, 487245, 6460920, 70274262, 645084445, 5101533131, 35303844988, 216412209627, 1186682990705, 5867639936202, 26336848147168, 107913286582509, 405577089880106, 1403922286907797, 4491874681282838, 13325129660655319, 36749474808714593, 94449719219262517, 226689450187793573, 509035059085166018, 1071176160573816479, 2115432026610089700, 3925691963352022341, 6853294513073859630, 11266129211141121742, 17454698843693046407, 25505307844551837326, 35172169563389617239, 45797547548960471211, 56330082290098069195, 65468524173196415705, 71914624215592018826, 74671243825552686388, 73292765675007905651, 68001993326895424179, 59631707476231518911, 49411792162802982783, 38676208214646507895, 28584945063602478482, 19938274802884300793, 13116714709717265237, 8132639200776732766, 4748278261200713338, 2608024858933092322, 1346074794408997564, 652006213752455743, 295956138898867441, 125683998661458955, 49842381651879601, 18418955705334457, 6327555809439679, 2015233315978833, 593168628408153, 160782910480936, 39968340729272, 9068194179784, 1867271369048, 346638007264, 57550022756, 8461928362, 1088598639, 120646033, 11286483, 866713, 52461, 2347, 69, 1, 0, 0} ■8x9マスで宝マックス72個テーブルも一瞬で表示 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(0,n-28)-3C(1,n-26)-3C(1,n-24)-8C(0,n-23)-8C(1,n-21)-15C(0,n-20),k-2),{n,20,35}],{k,1,72}]+Table[C(71,k-1)+C(1,k),{k,1,72}] {2, 87, 3295, 78607, 1362299, 18460078, 204473689, 1907116083, 15299719813, 107274376311, 665613316422, 3691399441605, 18447776156424, 83642334863742, 346035607900560, 1312638938412806, 4584809892945575, 14798849190259082, 44283503920739404, 123188383908980963, 319353810087020272, 773186685811315639, 1751591017389233568, 3719181606403019809, 7412653767304185445, 13886128424486382893, 24477720915701752696, 40642683785697114854, 63620630278918684964, 93961096384315847204, 131013012205871839238, 172557237876989179559, 214781731322670114329, 252731141418076935138, 281209274772956576193, 295926350847761236653, 294548347126207473781, 277298087576831730532, 246896780442822393205, 207866926373152892934, 165440348653912344087, 124431016360680033348, 88399759656981333882, 59288415686663225877, 37514631338865127956, 22377473721141027910, 12572352774184755184, 6646249228402815124, 3302093433054131533, 1539874630017375451, 673008134822102446, 275211143609823985, 105099248767176058, 37401623133599593, 12373255757373154, 3794739201203181, 1075517359850959, 280687932668752, 67172923268624, 14670008286928, 2907185390840, 519288075532, 82935807842, 11727724279, 1450536738, 154505482, 13886622, 1024096, 59502, 2554, 72, 1} しかも誤差を修正済み いやぁ、この出力は圧巻ですね Haskell先生もびっくり しかし誤差あり 宝箱問題、 もとの 4x3 型の12部屋で宝箱の数を変えてみると 1と8以上で有利不利無し、それ以外は長軸優先有利となるな 初見での印象よりも随分奥深いなこれ 計算式お願いする プログラムで計算したので式はなんとも 4x5だと宝箱を増やすと途中で短軸有利から長軸有利に 変わっちゃうので自分でもびっくりした n=8くらいまでならマスのサイズを固定した場合、 宝を1からマックスまで変化させるロジックは完全に解明された □■■■■■■■■ □□★■■■■■■ □□□★■■■■■ □☆□□★■■■■ □□□□□■■■■ □□☆□□□■■■ □□□□□□□■■ □□□☆□□□□■ {69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56, 52, 50, 48, 46, 44, 43, 42, 37, 35, 33, 32, 31, 30, 24, 23, 22, 21, 20, 15, 14, 13, 12, 8, 7, 6, 3, 2} 35項目、合計1210 8x9マス長軸は三角数の位置2 6 12 20 30 42 56で1上がっている つまり、最大マスから一回りづつ小さいマスの総数は全て数える 8x9マスでは8(8+1)/2-1=35 35項 >>7 [8,] 1259 1210 87 から合計1210 8 * 9 [2] : 1259 , 1210 , 87 8 * 9 [3] : 28901 , 27444 , 3295 8 * 9 [4] : 487245 , 462938 , 78607 8 * 9 [5] : 6460920 , 6168325 , 1362299 8 * 9 [6] : 70274262 , 67504568 , 18460078 8 * 9 [7] : 645084445 , 623551570 , 204473689 8 * 9 [8] : 5101533131 , 4960367131 , 1907116083 8 * 9 [9] : 35303844988 , 34509440319 , 15299719813 8 * 9 [10] : 216412209627 , 212525346318 , 107274376311 8 * 9 [11] : 1186682990705 , 1169989129225 , 665613316422 8 * 9 [12] : 5867639936202 , 5804244923649 , 3691399441605 8 * 9 [13] : 26336848147168 , 26122841703128 , 18447776156424 8 * 9 [14] : 107913286582509 , 107268699582069 , 83642334863742 8 * 9 [15] : 405577089880106 , 403841343528838 , 346035607900560 8 * 9 [16] : 1403922286907797 , 1399743796844505 , 1312638938412806 8 * 9 [17] : 4491874681282838 , 4482908439962531 , 4584809892945575 8 * 9 [18] : 13325129660655316 , 13308110914669040 , 14798849190259080 8 * 9 [19] : 36749474808714576 , 36721381656941040 , 44283503920739408 8 * 9 [20] : 94449719219262544 , 94410951895703376 , 123188383908980944 8 * 9 [21] : 226689450187793600 , 226649637879721216 , 319353810087020288 8 * 9 [22] : 509035059085166144 , 509020882643576960 , 773186685811315328 8 * 9 [23] : 1071176160573816448 , 1071238534080555904 , 1751591017389233920 8 * 9 [24] : 2115432026610089728 , 2115648029075918592 , 3719181606403020288 8 * 9 [25] : 3925691963352023040 , 3926156660554725888 , 7412653767304184832 8 * 9 [26] : 6853294513073858560 , 6854100615782599680 , 13886128424486381568 8 * 9 [27] : 11266129211141124096 , 11267338149222707200 , 24477720915701743616 8 * 9 [28] : 17454698843693041664 , 17456312814286665728 , 40642683785697116160 8 * 9 [29] : 25505307844551831552 , 25507254963487424512 , 63620630278918684672 8 * 9 [30] : 35172169563389628416 , 35174310810267590656 , 93961096384315801600 ■8x9マス長軸テーブル外せば出力可能 sum[C(2n-1+C(0,3mod n)+C(0,n-6 mod15)+C(0,n-10 mod18)+C(0,n-15)-C(0,n-5 mod22)-3C(0,n-9)-3C(1,n-13)-7C(0,n-20)-C(1,n-23)-C(1,n-25),k-1),{n,1,35}],k=16 1399743796844505 >>31 8 * 9 [16] : 1399743796844505 k=26, 6854100615782599621 8 * 9 [26] : 6854100615782599680 Table[sum[C(2n-1+α,k-1),{n,1,a}],{k,1,b}] a=n(n+1)/2-1 b=n(n+1) を満たす差分追尾数列αを見つけてくれ〜(・ω・)ノ 米Googleは3月14日(米国時間)、「円周率の日」に合わせ、 同社のクラウドコンピューティングサービス「Google Cloud」を 用いて円周率を小数点以下約31兆4000億桁まで計算した ことを発表した 2016年に記録されたこれまでの世界記録、 約22兆4000億桁を9兆桁更新し、新たにギネス世界記録 に登録された 計算には、Google Cloud上の96個のvCPU(仮想CPU)と 1.4テラバイトメモリを用意してクラスタを構築 計算結果の書き込みには1ノード10テラバイトのインスタンスを 24個用意し、最大170テラバイトまで利用した 計算は2018年9月22日から始め、19年1月21日に終了 約111日間計算を続け、ディスクの読み込み、書き込み量の 合計はそれぞれ9ペタバイト(9000テラバイト)、 7.95ペタバイトに及んだ 111日間の計算の結果、小数点以下 31兆4159億2653万5897桁まで円周率を計算したという 円周率の最初の14桁である「3.1415926535897」に合わせた 'Let's Make a Deal' host Monty Hall dies aged 96 ITV News-2017/09/30 Monty Hall, one of the US's most popular television game show hosts, has died aged 96, his son has said. Born Monte Halperin on 25 August 1921, for nearly three decades Hall hosted 'Let's Make a Deal', the hugely successful television show that he co-created. >>34 1ミリ角の中に数字を一つ書いて1平方キロの マスをすべて埋めて一兆個 つまり、31.4平方キロメートルを埋め尽くす数字の列 日:合流型超幾何関数 英:Confluent hypergeometric function 仏:Fonction hypergeometrique confluente 独:Konfluente hypergeometrische funktion https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/161,194-198 に書いてある事がちゃんと読めれば 宝の数が何個になっても 場合わけ+多項式で記述できるのはすぐわかる 読めよ 数学板なんだから ↑ これだと宝二個の多項式しか作れない しかも偶数と奇数が分離していて美しくない 解答としては不十分 ■目からウロコ!の最短ロジックはこちら https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560604951/2-4 思考を小学生モードにすることにより 数式処理ソフトのSageMathなしで 偶数と奇数の分離しない回答に最短で到達! ■https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/161 二つの関数を一つに合成する P1st (6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24 (奇数)……@ (6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24 (偶数)……A Q1st (6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24 (奇数)……B (6n^2-2n-5)(n+2)n/24 (偶数)……C 奇数[1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0]のみ出力する関数は ((-1)^(n+1)+1)/2 ……D 偶数[0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1]のみ出力する関数は ((-1)^n+1)/2 ……E @xD+AxE ((6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24)(((-1)^n+1)/2) ∴P1st ={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48 BxD+CxE ((6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^2-2n-5)(n+2)n/24)(((-1)^n+1)/2) ∴Q1st ={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48 >>7 と一致Match 1-(165n-3n^2+351)/(208n-7n^2+468) (4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468) ・マクローリン展開 入力例:series[tan x] 合流型超幾何関数 Table[e^(iπ n)(n+e^(iπ n)(n+4)+2)/2,{n,1,56}] {1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, 21, 1, 23, 1, 25, 1, 27, 1, 29, 1, 31, 1, 33, 1, 35, 1, 37, 1, 39, 1, 41, 1, 43, 1, 45, 1, 47, 1, 49, 1, 51, 1, 53, 1, 55, 1, 57, 1, 59} 確率は、理論的な事象の発生頻度を与える たとえば、コインをトスして、手で伏せる 表と裏の確率はそれぞれ50%である その後、手を除けて観測すると、表か裏かは判明する これについて、多世界解釈では可能性の数だけ 世界が分岐するという解釈がなされる a_n=1/4(-1)^n(17(-1)^n n+n-20(-1)^n-8) Table[((-1)^n(-8+n+(-1)^n(-20+17n)))/4,{n,1,50}] {1, 2, 9, 11, 17, 20, 25, 29, 33, 38, 41, 47, 49, 56, 57, 65, 65, 74, 73, 83, 81, 92, 89, 101, 97, 110, 105, 119, 113, 128, 121, 137, 129, 146, 137, 155, 145, 164, 153, 173, 161, 182, 169, 191, 177, 200} Table[Γ(n+1,-2)/(e^2Γ(n))+((-2)^(n+1)+(2Γ(n+1,-2))/e^2)/Γ(n+1),{n,1,20}] Sum[(-2)^k((n-k)/k!),{k,0,-1+n}] Table[(1/16)[{1-(-1)^n}{(n+15)-(n-9)i^(n+1)}+8{1+(-1)^n}(3+i^n)],{n,1,20}] {1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4} ■■■■■■■■■■■ ■□□□□□□□□□■ ■□■■■■■■■□■ ■□■□□□□□■□■ ■□■□■■■□■□■ ■□■□■□□□■□■ ■□■□■■■■■□■ ■□■□□□□□□□■ ■□■■■■■■■■■ ■■■■■■ □□□□□■ □■■■□■ □■□□□■ □■■■■■ ■Obituary - John Forbes Nash, Jr. (1928 - 2015) Swarajya-2015/05/25 Nash is mostly known for his equilibrium concept called as “Nash Equilibrium”. For many years before his seminal paper, legends like von Neumann were working on the theory of games with a special focus on Zero-sum games. (n(n+1)/2-1)^2+(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48 (n(n+1)/2-1)^2+(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48 合流型超幾何微分方程式 (confluent hypergeometric differential equation) Table[((-1)^n-(1+2 i)(-i)^n-(1-2 i)i^n+9)/4,{n,1,60}] {1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2} トランプの束がある 2〜10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、 ジョーカーのカードが24枚ある 全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が 書かれている確率はいくらか Sum[choose(24,k)*choose(9,12-k)*4^(12-k),{k,3,12}]/(choose(60,12)) Sum[C(24,k)C(9,12-k)4^(12-k),{k,3,12}]/(C(60,12)) 出力 7371811052/66636135475 153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+78(24!!) 153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+3(26!!) 53760=512(7!!) ■スイッチング関数 Table[-C(1,n-2)+C(1,n-5)+C(1,n-9)+C(1,n-10),{n,1,10}] {0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2} Table[(E^(I n Pi)(2+n+E^(I n Pi)(4+n)))/2,{n,1,56}] {1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, 21, 1, 23,1, 25, 1, 27, 1, 29, 1, 31, 1, 33, 1, 35, 1, 37, 1, 39, 1, 41, 1, 43, 1, 45, 1, 47, 1, 49, 1, 51, 1, 53, 1, 55, 1, 57, 1, 59} ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4] Piはπ a_n=(2n+(-1)^(n+1)+1)/4 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1/4(2n+e^(iπ(n+1))+1) (1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4 1/4(2n+e^(i πn+i π)+1) (1+E^(I Pi+I nPi)+2n)/4 ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4] 1/4(2n+e^(iπ n+iπ)+1) n/2-1/4 i sin(π n)-1/4 cos(π n)+1/4 ComplexExpand[(1+E^(I Pi+I n Pi)+2 n)/4] 1/4+n/2-Cos[n Pi]/4-(I/4) Sin[n Pi] ■NPN-同値類(NPN-equivalent class)または NPN-同値関数(NPN-equivalent function). (1)一部またはすべての入力変数の否定(Negation) (2)一部またはすべての入力変数の順序の変更(Permutation) (3)出力結果の否定(Negation) 論理代数のことをブール代数(Boolean algebra)と 呼ぶことがしばしばある 1劫年(349京2413兆4400億年) ■□■ ■□■ □■■ 1不可説不可説転=10^(7 2^122) 1グーゴルプレックス=10^(10^100) 1不可説不可説転 ↓ 10^37218383881977644441306597687849648128 Table[1,{n,0,13}] {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Table[5,{n,0,13}] {5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5} 「シミュレーテッド分岐アルゴリズム」(Simulated Bifurcation, SB) Sum[(-2)^k((n-k)/k!),{k,0,-1+n}] Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}] Table[Γ(n+1,-2)/(e^2Γ(n))+((-2)^(n+1)+(2Γ(n+1,-2))/e^2)/Γ(n+1),{n,1,20}] (n+2)sum[k=0,n](-2)^k/k!+(-2)^(n+1)/n! (n+2)sum[(-2)^k/k!,{k,0,n}]+(-2)^(n+1)/n! ■ベイズの公式から Table[(13-n)/(52-n),{n,0,13}] ……@ 出力 {1/4, 4/17, 11/50, 10/49, 3/16, 8/47, 7/46, 2/15, 5/44, 4/43, 1/14, 2/41, 1/40, 0} この出力をすべて含んだ式 Table[(n-13)(3a+4n+3)/(7n^2-208n-156a-156),{a,0,11},{n,0,13}] ……A ∵[0≦a≦11] @の出力はすべてAの出力に含まれる Table[(C(0,n)+C(0,n-a-1))(n-13)(3a+4n+3)/(7n^2-208n-156a-156),{a,0,11},{n,0,13}] 37×3=111 37×6=222 37×9=333 37×12=444 37×15=555 37×18=666 37×21=777 37×24=888 37×27=999 271×41=11111 271×82=22222 271×123=33333 271×164=44444 271×205=55555 271×246=66666 271×287=77777 271×328=88888 271×369=99999 8547×13=111111 8547×26=222222 8547×39=333333 8547×52=444444 8547×65=555555 8547×78=666666 8547×91=777777 8547×104=888888 8547×117=999999 レピュニット とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである 名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、 1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである 1111111=239×4649 11111111111=21649×513239 ■1000!は何桁ですか? ceil(log10(1000!)) 十分大きなnに対してはa^n<n!<n^nということを使って、 10^1000<1000!<1000^1000=10^3000 1000桁以上3000桁以下といってもいい この方法はwolframで計算できないほど大きい階乗にも使える 10^10^10<(10^10)!<(10^10)^10^10=10^10^11 (10^10)!は10 000 000 000桁以上、100 000 000 000桁未満 Table[choose(1,k),{k,1,12}] k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 binomial(1, k) | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 あるタクシー会社のタクシーには 1から通し番号がふられている タクシー会社の規模から保有タクシー台数は 100台以下とわかっている(弱情報事前分布) この会社のタクシーを5台みかけた 最大の番号が60であった この会社の保有するタクシー台数の期待値と 95%信用区間を求めよ Sum[n C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}] =2590100/36231≒71.4885 Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,92}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}] =12478719715/13176622927≒0.947035 Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,93}]/Sum[C[59,4]/C[n,5],{n,60,100}] =13148689015/13768830699≒0.95496 C: 複素数全体 R: 実数全体 Q: 有理数全体 Z: 整数全体 N: 自然数全体 使用例. 1 ∈ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. 数学においてガンマ関数(英: Gamma function)とは、 階乗の概念を複素数全体に拡張した特殊関数である 互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、 1729年、数学者レオンハルト・オイラーが階乗の一般化として、 最初に導入した Table[{1-n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)(n-11)(n-12)/13!}/4,{n,0,13}] Table[(1-C(0,n-13))/4,{n,0,13}] 同じ出力で遥かに式を短くできる n個のものからk個取り出す場合の数と k個取り残す場合の数は等しい C(n,k)=C(n,n-k) Table[1,{n,0,13}] {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Table[5,{n,0,13}] {5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5} なんだこれは(/・ω・)/ 0,1の2値を扱う論理代数は,論理回路の設計や 解析を行う上での数学的基礎を与えるものである. 19世紀にBooleにより論理代数(いわゆるブール代数)が 体系化され,更に20世紀中頃になり,Shannonにより 論理代数に基づく論理回路設計法が示された. それ以降,様々な論理設計のための技法が 研究開発されている. 近年では,それらの多くの技法は,計算機上に プログラムとして実装され,人手で扱うことが到底困難な 大規模な論理回路を,計算機の力を借りて現実的な 処理時間で設計することが可能になってきている. しかし,任意の問題に対する完全な設計自動化は 困難であるため,依然として人間の関与も必要である. 論理回路設計の仕組みについても設計者がある程度理解し, 設計自動化プログラムを利用しながら,不満足な部分を 人間が補完していく必要があると考えられる. ■二項係数の間の等式 C(a,b)=(-1)^b C(b-a-1,b) C(-a,b)=(-1)^b C(b+a-1,b) Chu-Vandermonde identityにより 式をトランスフォーム Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] Table[sum[(-1)^(k-1)C(k-2n-1-C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 0 | 5 | 26 | 73 | 133 | 167 | 148 | 91 | 37 | 9 | 1 | 0 | 0 「det」は、行列式の英語に当たる ”determinant”に由来します n人掛けの長いすがある ここに、2人組のカップルがつぎつぎとランダムな 位置に座っていく 但し、各カップルは隣り合って座り、1人が1人分の椅子を占有し、 一度座ったら動かないものとする もし、左から3,4人目のところにカップルが座り、6,7人目の ところにもカップルが座ると、5人目のところは使えないままと なることになる このように各カップルはランダムな位置を占有しながら、 座れなくなるまでカップルは座っていく このとき、最後に左右が埋まって空席のまま 使われず残る椅子の数はいくつになると期待されるか、 nで表せ a_n=Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}] いま、n人掛けの椅子はa_n人分のスペースが 孤立して残ると期待されるとする 例えば、n=0では誰も座れずa_0=0となり、 n=1ではやはりカップルは座れないが椅子は余るのでa_1=1、 n=2ではカップルが一組座って終わりなのでa_2=0、 n=3でも座れるカップルは一組だが1人分スペースが余るので a_3=1となる もし、一番最初のカップルが片端からk+1,k+2個目を 占有したとしたらどうなるだろうか これは、その端からk個目までのk個と、 k+3個目から反対端までのn-k-2個が分断される ことを意味する つまり、k人掛けの椅子とn-k-2人掛けの椅子がある という状況と同一視できる Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}] 重合度nのPVA(ポリビニルアルコール)があるとする ここに、大過剰のホルムアルデヒド(HCHO)を用いて架橋を行う 即ち、各HCHO分子はPVAの隣り合う2つのOH基を架橋する PVAのOH基をHCHOで架橋したものはビニロンと呼ばれる繊維になり、 残存するOH基の量に応じて吸水性などのパラメータが変わる ここで、各HCHO分子は全くランダムな位置を架橋していくとし、 PVA とは架橋以外の相互作用をしないとする もし、片端から3,4つ目のOHが架橋され、その後 6,7つ目のOHも架橋されたとすると、HCHOは5つ目のOHを 架橋できないことになる(隣り合うOHの架橋以外の相互作用を 認めないという仮定を用いた) HCHO は大過剰存在するので、隣り合うOHがなくなるまで 架橋は進むとする このとき、全てのOHの内、いくつが架橋されずに残ると 期待されるかnで表せ >>84 と>>86 は 本質的に同じ問題として解くことができる ■古典的確率模型 Ω={ω1,ω2, . . . ,ωn}(有限集合) B=2^Ω(Ωのべき集合;Ωの部分集合すべてからなる集合族) P(A)=#A/#Ω,A∈B(#Aは集合Aの元の個数) この確率空間(Ω,B,P)を古典的確率模型という サイコロを1回投じる Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, P({ω})=1/6(∀ω∈Ω). P(奇数の目が出る)=P({1, 3, 5})=#{1, 3, 5}/#Ω=3/6=1/2. コインを2回投げる Ω={HH, HT, TH, TT},P({ω})=1/4(∀ω∈Ω). (Hは表(head),Tは裏(tail)を意味する) (a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c) a^4-2a^2b^2-2a^2c^2+b^4-2b^2c^2+c^4 一方、もしk人掛けの椅子ではx人分、n-k-2人掛けではy人分、 孤立したスペースを生じると期待されるとすれば、k人掛けの椅子と n-k-2人掛けの椅子が両方あればx+y人分の孤立スペースが 出来ると期待される 以上より、最初のカップルがk+1,k+2個目を占有したなら、 孤立して残るスペースはa_k + a_n-k-2人分と期待される 各位置に座る確率はまったくランダムであるから、 この事象は1/(n-1)の確率でおきる 故に、a_nはa_0,a_1, ・ ・ ・a_n-2を用いて次のように表せる a_n=(1/(n-1))sum[a_k + a_n-k-2,{k,0,n-2}] =(2/(n-1))sum[a_k,{k,0,n-2}] この式をより簡潔にする 両辺をn-1倍した式について、nにn+2を代入した式から n+1を代入した式を引く (n-1)a_n=2sum[a_k + a_n-k-2,{k,0,n-2}] (n+1)a_n+2 - na_n+1=2sum[a_k,{k,0,n}]-2sum[a_k,{k,0,n-1}]=2a_n ∴(n+1)a_n+2=na_n+1 + 2a_n ■a_nの評価 a_n=Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}] =(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,n-1}]-Sum[(-2)^k/(k-1)!,{k,1,n-1}] ■n→∞の極限を考える a_n≒(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,∞}]+(2)Sum[(-2)^(k-1)/(k-1)!,{k,1,∞}] =n/e^2 + 2/e^2=(n)e^(-2) + (2)e^(-2)≒(n)e^(-2) 従って、nが十分大きい時、a_n即ち孤立した椅子の数は 全体のe^(-2)という割合になると考えられる モックテータ関数は、S. Ramanujan が1920年に G. H. Hardy へ宛てた 最後の手紙、および Ramanujan の「失われたノート」と呼ばれる 草稿中で、初めて言及した関数である ■有限単純群モンスター モンスターとは、およそ8.08×10^53個,正確には 2^46・3^20・5^9・7^6・11^2・13^3・17・19・23・29・31・41・47・59・71= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000個の 元からなる巨大な群である ちなみにアボガドロ定数はおよそ6.02 ×10^23である モンスターは豊かな構造をもつ興味深い研究対象である ガンマ関数 Γ η δ Π ε α β z^5 - z^4 + z^2 + 1 20世紀中頃になり,Shannon により論理代数に 基づく論理回路設計法が示された. ComplexExpand[(1+E^(I Pi+I n Pi)+2 n)/4] (1+E^(I Pi+I nPi)+2n)/4 K3曲面は超弦理論のコンパクト化で基本的な役割を果たす 事が知られているが、最近その位相的不変量である 楕円種数に面白うことが分かった K3曲面上の超弦理論は N=4 共形不変性を持つため楕円種数を N = 4 共形代数の指標で展開してその展開係数を調べると、 これらがマシュー群M24と呼ばれる離散群の規約表現の 次元の和に分解できる これはモジュラーJ関数のq展開の係数がモンスター群の 規約表現の和に分解されるいわゆるMonsterous Moonshine と呼ばれる現象に良く似ている 有限単純群にはいくつかの無限系列と26個の例外があり、 例外中で最大のものがモンスターである 1970年代前半に有限単純群の分類の試みの中でモンスターが 発見された後、1970年代後半になってムーンシャインとよばれる 不思議な現象が見出された http://imetrics.co.jp/opinion/MonsterousMoonshine.pdf Monsterous moonshine は70年代後半に発見され 10数年かけて数学者によって解決された Mathieu moonshine の現象はその起源や意味がまだ全く不明である 最近は拡張されて Umbral moonshine, Enriques moonshine なども 見つかっている 文献 http://shochandas.xsrv.jp/divisor/somos.htm 数学セミナー 1993年3月号, 日本評論社, 「エレ解」 一松 信 「初等関数概説−いろいろな関数−」 森北出版(1998) p.84-87 187p.2268円 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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