■初等関数研究室■
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初等関数(しょとうかんすう、英: Elementary function)とは、 実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、 三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを 有限回繰り返して得られる関数のことである ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない 初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という 双曲線関数やその逆関数も初等関数である 初等関数の導関数はつねに初等関数になる 縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた 2マスにそれぞれ宝が眠っている AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、 ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、 同時に地点Aから探索を開始した どっちの方が有利? ABCD EFGH I JK L P1st Q1st even [1,] 0 0 1 [2,] 4 5 6 [3,] 26 27 13 [4,] 84 83 23 [5,] 203 197 35 [6,] 413 398 50 [7,] 751 722 67 [8,] 1259 1210 87 [9,] 1986 1910 109 [10,] 2986 2875 134 完全追尾型多項式が完成しました 宝の個数は2 P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48 Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48 even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8 ■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意 P1st/Q1st =8(n-1){(n-2)n-6}/{2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3}+1 P1stとQ1stは、『宝一つの時の自陣当たり数』の二乗と それぞれの差分を表す関数の和で求められる ■P1stを求める 宝一つの時の自陣当たり数 n(n+1)/2-1 ……@ P1stは@^2と差分の和 差分は0 0 1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203 252 308 372 444 525 615…… それを表す関数 (4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48 ……A 計算知能で@^2+Aを入力すると ∴P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48 ■Q1stを求める 宝一つの時の自陣当たり数 n(n+1)/2-1 ……@ Q1stは@^2と差分の和 差分は0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113 -148 -189…… それを表す関数は (-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48 ……B 計算知能で@^2+Bを入力すると ∴Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48 ■evenを求める evenは、n(n+1)-1と同着数の和 同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25…… これを表す関数は {2n^2-1+(-1)^(n)}/8 ……C n(n+1)-1 ……D 計算知能でC+Dを入力すると ∴even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8 P1st Q1st even [1,] 0 0 1 [2,] 4 5 6 [3,] 26 27 13 [4,] 84 83 23 [5,] 203 197 35 [6,] 413 398 50 [7,] 751 722 67 [8,] 1259 1210 87 [9,] 1986 1910 109 [10,] 2986 2875 134 [11,] 4320 4165 161 [12,] 6054 5845 191 [13,] 8261 7987 223 [14,] 11019 10668 258 [15,] 14413 13972 295 [16,] 18533 17988 335 [17,] 23476 22812 377 [18,] 29344 28545 422 [19,] 36246 35295 469 [20,] 44296 43175 519 Table[(12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51)/48,{n,1,20}] Table[(12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3)/48,{n,1,20}] Table[(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8,{n,1,20}] 2×3の場合 宝:1個 同等 宝:2〜3個 長軸有利 宝:4〜6個 同等 □■■ □□■ 短軸有利☆ Table[C(3,k-1)+C(1,k-1),{k,1,6}] {2, 4, 3, 1, 0, 0} 長軸有利☆ Table[C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,6}] {2, 5, 4, 1, 0, 0} 同等☆ Table[C(5,k-1)+C(3,k-2)+C(1,k),{k,1,6}] {2, 6, 13, 13, 6, 1} 2 * 3 [2] : 4 , 5 , 6 2 * 3 [3] : 3 , 4 , 13 > sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] 短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0 長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0 同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1 □■■■ □□■■ □□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] 同等☆ Table[C(11,k-1)+C(9,k-2)+C(7,k-2)+C(1,k),{k,1,12}] ガンマ関数とベータ関数 https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/ ~nkiyono/2006/miya-gamma.pdf > sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] 短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749 長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803 同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408 [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] 短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0 長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0 同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1 4×5の場合 宝:1個 同等 宝:2〜5個 短軸有利 宝:6〜13個 長軸有利 宝:14〜20個 同等 □■■■■ □□■■■ □□□■■ □□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+C(1,n-4),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 同等☆ Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}] 5×6の場合 宝:1個 同等 宝:2〜8個 短軸有利 宝:9〜21個 長軸有利 宝:22〜30個 同等 □■■■■■ □□■■■■ □□□■■■ □□□□■■ □□□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod7)+3C(0,n-4)+C(1,n-7),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2)-2C(0,n-5)-C(1,n-8),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}] 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-9),k-2),{n,9,14}],{k,1,30}]+Table[C(29,k-1)+C(1,k),{k,1,30}] 5 * 6 [2] : 203 , 197 , 35 5 * 6 [3] : 1801 , 1727 , 532 5 * 6 [4] : 11418 , 11008 , 4979 5 * 6 [5] : 55469 , 54036 , 33001 5 * 6 [6] : 215265 , 211894 , 166616 5 * 6 [7] : 685784 , 680768 , 669248 5 * 6 [8] : 1827737 , 1825076 , 2200112 5 * 6 [9] : 4130886 , 4139080 , 6037184 5 * 6 [10] : 7995426 , 8023257 , 14026332 5 * 6 [11] : 13346984 , 13395944 , 27884372 5 * 6 [12] : 19312228 , 19372871 , 47808126 5 * 6 [13] : 24301031 , 24358063 , 71100756 5 * 6 [14] : 26642430 , 26684251 , 92095994 5 * 6 [15] : 25463979 , 25488051 , 104165490 6×7の場合 宝:1個 同等 宝:2〜12個 短軸有利 宝:13〜31個 長軸有利 宝:32〜42個 同等 □■■■■■■ □□■■■■■ □□□■■■■ □□□□■■■ □□□□□■■ □□□□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+5C(0,n-7)+C(1,n-11)+C(1,n-13),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2 mod12)-2C(0,n-5)-3C(0,n-9)-C(1,n-12),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}] 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-14)-3C(0,n-13)-8C(0,n-12),k-2),{n,12,20}],{k,1,42}]+Table[C(41,k-1)+C(1,k),{k,1,42}] 6 * 7 [2] : 413 , 398 , 50 6 * 7 [3] : 5328 , 5070 , 1082 6 * 7 [4] : 49802 , 47536 , 14592 6 * 7 [5] : 361511 , 347863 , 141294 6 * 7 [6] : 2125414 , 2063677 , 1056695 6 * 7 [7] : 10409448 , 10191338 , 6377542 6 * 7 [8] : 43330401 , 42718984 , 31980800 6 * 7 [9] : 155608539 , 154251591 , 136031680 6 * 7 [10] : 487675145 , 485359843 , 498407985 6 * 7 [11] : 1345799489 , 1343074613 , 1591687274 6 * 7 [12] : 3293603485 , 3292560662 , 4471952741 6 * 7 [13] : 7189071864 , 7193592264 , 11136067152 6 * 7 [14] : 14059388483 , 14074085203 , 24726755394 6 * 7 [15] : 24725171790 , 24753058778 , 49194197048 6 * 7 [16] : 39214892052 , 39255073592 , 88039755958 6 * 7 [17] : 56218716543 , 56265877603 , 142177333010 6 * 7 [18] : 72972907098 , 73019303768 , 207704910184 6 * 7 [19] : 85862179541 , 85900953866 , 275012177393 6 * 7 [20] : 91643393740 , 91671084359 , 330477129321 6 * 7 [21] : 88747779232 , 88764701159 , 360745394049 7×8の場合 宝:1個 同等 宝:2〜16個 短軸有利 宝:17〜43個 長軸有利 宝:44〜56個 同等 □■■■■■■■ □□■■■■■■ □□□■■■■■ □□□□■■■■ □□□□□■■■ □□□□□□■■ □□□□□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod18)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-16)+C(1,n-18),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1 mod14)+C(0,n-3 mod18)+3C(1,n-5)+3C(1,n-9)-19C(0,n-14)-C(1,n-17)-C(1,n-19),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}] 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-20)-3C(1,n-18)-8C(1,n-16),k-2),{n,16,27}],{k,1,56}]+Table[C(55,k-1)+C(1,k),{k,1,56}] 7 * 8 [2] : 751 , 722 , 67 7 * 8 [3] : 13213 , 12546 , 1961 7 * 8 [4] : 169815 , 161494 , 35981 7 * 8 [5] : 1708176 , 1634573 , 477067 7 * 8 [6] : 14026034 , 13521709 , 4920693 7 * 8 [7] : 96716833 , 93921622 , 41278945 7 * 8 [8] : 571625198 , 558773693 , 290095184 7 * 8 [9] : 2940723248 , 2890925540 , 1744319612 7 * 8 [10] : 13327198939 , 13162957237 , 9116895304 7 * 8 [11] : 53717709609 , 53254225291 , 41930280380 7 * 8 [12] : 194070976396 , 192951568390 , 171360762514 7 * 8 [13] : 632475500322 , 630177011156 , 627260220922 7 * 8 [14] : 1869295969469 , 1865362789969 , 2070073204362 7 * 8 [15] : 5032748390589 , 5027434867987 , 6193066240064 7 * 8 [16] : 12389874719763 , 12385213035831 , 16873864084671 7 * 8 [17] : 27980641402960 , 27981556314178 , 42035336024662 7 * 8 [18] : 58125229289763 , 58139877526913 , 96062882957224 7 * 8 [19] : 111326498505381 , 111364943071921 , 201964537970498 7 * 8 [20] : 196977669970830 , 197048666795639 , 391587225396961 7 * 8 [21] : 322510102010304 , 322617018858127 , 701638985697449 7 * 8 [22] : 489306306855569 , 489444206271532 , 1163831929136799 7 * 8 [23] : 688690248074025 , 688846020744196 , 1789759515397979 7 * 8 [24] : 900050700996225 , 900206640621300 , 2554774361679750 7 * 8 [25] : 1092975958236546 , 1093115221856691 , 3388349400127275 7 * 8 [26] : 1233862233565383 , 1233973593552186 , 4178612556991503 7 * 8 [27] : 1295273249461927 , 1295353120172050 , 4794316279376103 7 * 8 [28] : 1264553645519991 , 1264605044607097 , 5119531910633352 同等8 * 9 [18] : 14798849190259080 短軸8 * 9 [18] : 13325129660655316 長軸8 * 9 [18] : 13308110914669040 から誤差がある ■8x9マスで宝マックス72個テーブルも一瞬で表示 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-12)+9C(0,n-16)+C(1,n-22)+C(1,n-24)+C(1,n-26),k-1),{n,1,35}],{k,1,72}] {35, 1259, 28901, 487245, 6460920, 70274262, 645084445, 5101533131, 35303844988, 216412209627, 1186682990705, 5867639936202, 26336848147168, 107913286582509, 405577089880106, 1403922286907797, 4491874681282838, 13325129660655319, 36749474808714593, 94449719219262517, 226689450187793573, 509035059085166018, 1071176160573816479, 2115432026610089700, 3925691963352022341, 6853294513073859630, 11266129211141121742, 17454698843693046407, 25505307844551837326, 35172169563389617239, 45797547548960471211, 56330082290098069195, 65468524173196415705, 71914624215592018826, 74671243825552686388, 73292765675007905651, 68001993326895424179, 59631707476231518911, 49411792162802982783, 38676208214646507895, 28584945063602478482, 19938274802884300793, 13116714709717265237, 8132639200776732766, 4748278261200713338, 2608024858933092322, 1346074794408997564, 652006213752455743, 295956138898867441, 125683998661458955, 49842381651879601, 18418955705334457, 6327555809439679, 2015233315978833, 593168628408153, 160782910480936, 39968340729272, 9068194179784, 1867271369048, 346638007264, 57550022756, 8461928362, 1088598639, 120646033, 11286483, 866713, 52461, 2347, 69, 1, 0, 0} ■8x9マスで宝マックス72個テーブルも一瞬で表示 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(0,n-28)-3C(1,n-26)-3C(1,n-24)-8C(0,n-23)-8C(1,n-21)-15C(0,n-20),k-2),{n,20,35}],{k,1,72}]+Table[C(71,k-1)+C(1,k),{k,1,72}] {2, 87, 3295, 78607, 1362299, 18460078, 204473689, 1907116083, 15299719813, 107274376311, 665613316422, 3691399441605, 18447776156424, 83642334863742, 346035607900560, 1312638938412806, 4584809892945575, 14798849190259082, 44283503920739404, 123188383908980963, 319353810087020272, 773186685811315639, 1751591017389233568, 3719181606403019809, 7412653767304185445, 13886128424486382893, 24477720915701752696, 40642683785697114854, 63620630278918684964, 93961096384315847204, 131013012205871839238, 172557237876989179559, 214781731322670114329, 252731141418076935138, 281209274772956576193, 295926350847761236653, 294548347126207473781, 277298087576831730532, 246896780442822393205, 207866926373152892934, 165440348653912344087, 124431016360680033348, 88399759656981333882, 59288415686663225877, 37514631338865127956, 22377473721141027910, 12572352774184755184, 6646249228402815124, 3302093433054131533, 1539874630017375451, 673008134822102446, 275211143609823985, 105099248767176058, 37401623133599593, 12373255757373154, 3794739201203181, 1075517359850959, 280687932668752, 67172923268624, 14670008286928, 2907185390840, 519288075532, 82935807842, 11727724279, 1450536738, 154505482, 13886622, 1024096, 59502, 2554, 72, 1} しかも誤差を修正済み いやぁ、この出力は圧巻ですね Haskell先生もびっくり しかし誤差あり 宝箱問題、 もとの 4x3 型の12部屋で宝箱の数を変えてみると 1と8以上で有利不利無し、それ以外は長軸優先有利となるな 初見での印象よりも随分奥深いなこれ 計算式お願いする プログラムで計算したので式はなんとも 4x5だと宝箱を増やすと途中で短軸有利から長軸有利に 変わっちゃうので自分でもびっくりした n=8くらいまでならマスのサイズを固定した場合、 宝を1からマックスまで変化させるロジックは完全に解明された □■■■■■■■■ □□★■■■■■■ □□□★■■■■■ □☆□□★■■■■ □□□□□■■■■ □□☆□□□■■■ □□□□□□□■■ □□□☆□□□□■ {69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56, 52, 50, 48, 46, 44, 43, 42, 37, 35, 33, 32, 31, 30, 24, 23, 22, 21, 20, 15, 14, 13, 12, 8, 7, 6, 3, 2} 35項目、合計1210 8x9マス長軸は三角数の位置2 6 12 20 30 42 56で1上がっている つまり、最大マスから一回りづつ小さいマスの総数は全て数える 8x9マスでは8(8+1)/2-1=35 35項 >>7 [8,] 1259 1210 87 から合計1210 8 * 9 [2] : 1259 , 1210 , 87 8 * 9 [3] : 28901 , 27444 , 3295 8 * 9 [4] : 487245 , 462938 , 78607 8 * 9 [5] : 6460920 , 6168325 , 1362299 8 * 9 [6] : 70274262 , 67504568 , 18460078 8 * 9 [7] : 645084445 , 623551570 , 204473689 8 * 9 [8] : 5101533131 , 4960367131 , 1907116083 8 * 9 [9] : 35303844988 , 34509440319 , 15299719813 8 * 9 [10] : 216412209627 , 212525346318 , 107274376311 8 * 9 [11] : 1186682990705 , 1169989129225 , 665613316422 8 * 9 [12] : 5867639936202 , 5804244923649 , 3691399441605 8 * 9 [13] : 26336848147168 , 26122841703128 , 18447776156424 8 * 9 [14] : 107913286582509 , 107268699582069 , 83642334863742 8 * 9 [15] : 405577089880106 , 403841343528838 , 346035607900560 8 * 9 [16] : 1403922286907797 , 1399743796844505 , 1312638938412806 8 * 9 [17] : 4491874681282838 , 4482908439962531 , 4584809892945575 8 * 9 [18] : 13325129660655316 , 13308110914669040 , 14798849190259080 8 * 9 [19] : 36749474808714576 , 36721381656941040 , 44283503920739408 8 * 9 [20] : 94449719219262544 , 94410951895703376 , 123188383908980944 8 * 9 [21] : 226689450187793600 , 226649637879721216 , 319353810087020288 8 * 9 [22] : 509035059085166144 , 509020882643576960 , 773186685811315328 8 * 9 [23] : 1071176160573816448 , 1071238534080555904 , 1751591017389233920 8 * 9 [24] : 2115432026610089728 , 2115648029075918592 , 3719181606403020288 8 * 9 [25] : 3925691963352023040 , 3926156660554725888 , 7412653767304184832 8 * 9 [26] : 6853294513073858560 , 6854100615782599680 , 13886128424486381568 8 * 9 [27] : 11266129211141124096 , 11267338149222707200 , 24477720915701743616 8 * 9 [28] : 17454698843693041664 , 17456312814286665728 , 40642683785697116160 8 * 9 [29] : 25505307844551831552 , 25507254963487424512 , 63620630278918684672 8 * 9 [30] : 35172169563389628416 , 35174310810267590656 , 93961096384315801600 ■8x9マス長軸テーブル外せば出力可能 sum[C(2n-1+C(0,3mod n)+C(0,n-6 mod15)+C(0,n-10 mod18)+C(0,n-15)-C(0,n-5 mod22)-3C(0,n-9)-3C(1,n-13)-7C(0,n-20)-C(1,n-23)-C(1,n-25),k-1),{n,1,35}],k=16 1399743796844505 >>31 8 * 9 [16] : 1399743796844505 k=26, 6854100615782599621 8 * 9 [26] : 6854100615782599680 Table[sum[C(2n-1+α,k-1),{n,1,a}],{k,1,b}] a=n(n+1)/2-1 b=n(n+1) を満たす差分追尾数列αを見つけてくれ〜(・ω・)ノ 米Googleは3月14日(米国時間)、「円周率の日」に合わせ、 同社のクラウドコンピューティングサービス「Google Cloud」を 用いて円周率を小数点以下約31兆4000億桁まで計算した ことを発表した 2016年に記録されたこれまでの世界記録、 約22兆4000億桁を9兆桁更新し、新たにギネス世界記録 に登録された 計算には、Google Cloud上の96個のvCPU(仮想CPU)と 1.4テラバイトメモリを用意してクラスタを構築 計算結果の書き込みには1ノード10テラバイトのインスタンスを 24個用意し、最大170テラバイトまで利用した 計算は2018年9月22日から始め、19年1月21日に終了 約111日間計算を続け、ディスクの読み込み、書き込み量の 合計はそれぞれ9ペタバイト(9000テラバイト)、 7.95ペタバイトに及んだ 111日間の計算の結果、小数点以下 31兆4159億2653万5897桁まで円周率を計算したという 円周率の最初の14桁である「3.1415926535897」に合わせた 'Let's Make a Deal' host Monty Hall dies aged 96 ITV News-2017/09/30 Monty Hall, one of the US's most popular television game show hosts, has died aged 96, his son has said. Born Monte Halperin on 25 August 1921, for nearly three decades Hall hosted 'Let's Make a Deal', the hugely successful television show that he co-created. >>34 1ミリ角の中に数字を一つ書いて1平方キロの マスをすべて埋めて一兆個 つまり、31.4平方キロメートルを埋め尽くす数字の列 日:合流型超幾何関数 英:Confluent hypergeometric function 仏:Fonction hypergeometrique confluente 独:Konfluente hypergeometrische funktion https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/161,194-198 に書いてある事がちゃんと読めれば 宝の数が何個になっても 場合わけ+多項式で記述できるのはすぐわかる 読めよ 数学板なんだから ↑ これだと宝二個の多項式しか作れない しかも偶数と奇数が分離していて美しくない 解答としては不十分 ■目からウロコ!の最短ロジックはこちら https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560604951/2-4 思考を小学生モードにすることにより 数式処理ソフトのSageMathなしで 偶数と奇数の分離しない回答に最短で到達! ■https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/161 二つの関数を一つに合成する P1st (6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24 (奇数)……@ (6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24 (偶数)……A Q1st (6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24 (奇数)……B (6n^2-2n-5)(n+2)n/24 (偶数)……C 奇数[1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0]のみ出力する関数は ((-1)^(n+1)+1)/2 ……D 偶数[0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1]のみ出力する関数は ((-1)^n+1)/2 ……E @xD+AxE ((6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24)(((-1)^n+1)/2) ∴P1st ={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48 BxD+CxE ((6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^2-2n-5)(n+2)n/24)(((-1)^n+1)/2) ∴Q1st ={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48 >>7 と一致Match 1-(165n-3n^2+351)/(208n-7n^2+468) (4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468) ・マクローリン展開 入力例:series[tan x] 合流型超幾何関数 Table[e^(iπ n)(n+e^(iπ n)(n+4)+2)/2,{n,1,56}] {1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, 21, 1, 23, 1, 25, 1, 27, 1, 29, 1, 31, 1, 33, 1, 35, 1, 37, 1, 39, 1, 41, 1, 43, 1, 45, 1, 47, 1, 49, 1, 51, 1, 53, 1, 55, 1, 57, 1, 59} 確率は、理論的な事象の発生頻度を与える たとえば、コインをトスして、手で伏せる 表と裏の確率はそれぞれ50%である その後、手を除けて観測すると、表か裏かは判明する これについて、多世界解釈では可能性の数だけ 世界が分岐するという解釈がなされる a_n=1/4(-1)^n(17(-1)^n n+n-20(-1)^n-8) Table[((-1)^n(-8+n+(-1)^n(-20+17n)))/4,{n,1,50}] {1, 2, 9, 11, 17, 20, 25, 29, 33, 38, 41, 47, 49, 56, 57, 65, 65, 74, 73, 83, 81, 92, 89, 101, 97, 110, 105, 119, 113, 128, 121, 137, 129, 146, 137, 155, 145, 164, 153, 173, 161, 182, 169, 191, 177, 200} Table[Γ(n+1,-2)/(e^2Γ(n))+((-2)^(n+1)+(2Γ(n+1,-2))/e^2)/Γ(n+1),{n,1,20}] Sum[(-2)^k((n-k)/k!),{k,0,-1+n}] Table[(1/16)[{1-(-1)^n}{(n+15)-(n-9)i^(n+1)}+8{1+(-1)^n}(3+i^n)],{n,1,20}] {1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4} ■■■■■■■■■■■ ■□□□□□□□□□■ ■□■■■■■■■□■ ■□■□□□□□■□■ ■□■□■■■□■□■ ■□■□■□□□■□■ ■□■□■■■■■□■ ■□■□□□□□□□■ ■□■■■■■■■■■ ■■■■■■ □□□□□■ □■■■□■ □■□□□■ □■■■■■ ■Obituary - John Forbes Nash, Jr. (1928 - 2015) Swarajya-2015/05/25 Nash is mostly known for his equilibrium concept called as “Nash Equilibrium”. For many years before his seminal paper, legends like von Neumann were working on the theory of games with a special focus on Zero-sum games. (n(n+1)/2-1)^2+(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48 (n(n+1)/2-1)^2+(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48 合流型超幾何微分方程式 (confluent hypergeometric differential equation) ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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