いささか旧聞ですが、私学共済の実例を。
大阪北部の小中高一貫の某共学校の場合、
週に４日以上かつ週に１０コマ以上の条件を満たすと、
私学共済に加入できます。

労働条件で時給を聞きにくい場合でも、私学共済に加入できるかどうか、
その場合の条件はどうかくらいは問い合わせても良いと思います。
教職浪人ではなく、非常勤講師業で生計を立てているのであれば、
かなり重要な条件ですから。
ちなみに私は５０代の講師業です。