沖縄へは、マルエーフェリー
https://www.aline-ferry.com/

で、那覇(本部経由)ー鹿児島航路があります。

飛行機だと、大韓航空がSkyPetサービスを提供していて、キャビンに動物を持ち込めるようです。

狂犬病の予防接種やマイクロチップの埋め込みとか必要で準備に時間が掛かるみたいです。
大韓航空のルールじゃなく動物検疫所のルールなので動物検疫所のサイトで確認してください。