それは本当にガス欠状態なのでしょうか？
エンジン停止後に何回ぐらいプライミングポンプが握れますか？

サーモスタットオープンスタック、エンジン温度センサー抵抗値、プラグ熱価違いなどが原因で
長時間アイドリングするとプラグがかぶってエンジン停止するなんて仮説はどうでしょう？
しばらく待ってプラグが乾けば再始動できるとかね

＞＞エンスト後20分経ってエンジンをかけるとキー２回しでエンジン始動。
この時プライミングしましたか？