2021立命館大　 放物線と直線で囲まれた面積　youtu.be/kX0SE4UHmfo
①放物線上の点Q(x₁,x₁²-2x₁+2)における接線の方程式はy=(2x₁-2)(x-x₁)+x₁²-2x₁+2でこれが点P(t,0)を通るから(途中割愛) x₁の2次方程式が作れて、解と係数の関係より点A,Bのx座標をそれぞれα,βとおくとα+β=2t,αβ=2t-21⃣
直線ABの方程式をy=ax+bとおくとy=,x²-2x+2との連立方程式の解がx=α,β(α<βとする)だからx²-2x+2-(ax+b)=(x-α)(x-β)よりa=α+β-2=【1⃣より】=2t-2,b=2-αβ=【1⃣より】=-2t+4だから直線ABの方程式はy=(2t-2)x+(-2t+4)
②求める面積S=∫[x=α~t](直線AB-放物線C)dx+∫[x=t~β](直線AB-放物線C)dx=∫[x=α~t](x-α)²dx+∫[x=t~β](x-β)²dx=[(x-α)³/3]+[(x-β)³/3]=(t-α)³/3-(t-β)³/3={(t-α)³-(t-β)³}/3=【1⃣より】={((α+β)/2-α)³-((α+β)/2-β)³}/3={((β-α)/2)³-((α-β)/2)³}/3={((β-α)/2)³+((β-α)/2)³}/3={2((β-α)/2)³}/3=(β-α)³/12でこの最小値は結局β-αが最小のときを考えればよく、(β-α)²=(α+β)²-4αβ=【1⃣より】=4t²-4(2t-2)=4(t-1)²+4でβ-αの最小値は√4=2だから、Sの最小値は2³/12=2/3･･･(答)