AIBOXはエンジンを切ると動作中アプリが初期状態に戻ってしまうので、コンビニ立ち寄りなどの際に少しイライラしましたが、以下の方法で対処出来ましたので、参考までに共有します。

車のUSB端子とAIBOXの間にY字USB電源補助ケーブルを接続し、補助電源としてモバイルバッテリー（電源スイッチ付き）を繋ぎます。

(1)運転中はモバイルバッテリーをOFFにして通常通り自動車からの給電でAIBOXを稼働。
(2)エンジンを切る前にモバイルバッテリーの電源をONにする→エンジンを切ってもモバイルバッテリーからの給電でAIBOXは稼働を続ける。
(3)再度エンジンをかけるとエンジン停止前の状態のままAIBOXの画面が表示される。

なお、私が使ってるモバイルバッテリーは自動車からの給電が始まると自動で停止するので、私が行う操作はエンジンを切る前のモバイルバッテリー電源オンだけで済んでます。

あとY字USB電源補助ケーブルば逆流防止機能がついてるやつがいいと思います。

ちなみに車種はマツダ（マツコネ1）です。