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141 名前：名無しさん＠実況は実況板で[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 20:50:58 ID:j0r5KRyv
> >>136
> 偏差値80以上ならこれ教えてくれ
> 「コインを投げて２回連続で表がでたら投げるのをやめる。
> 投げる回数の期待値を求めよ。」
★まともに解いた長い解答
注：以下、「a＊」や「a ＊」は、巨大な「a」の右下に小さな文字で「＊」と書いて
あると考えること。
a、bを任意の文字、数字として、「a b」は「a×b」と考え、
「√a」は「ルートa」と考えること。
また、a、b、c、dを任意の文字、数字として、
「a/b c/d」や「a/b・c/d」、「a/b×c/d」は「(a/b)×(c/d)」と考えること。
（解答）
n:自然数とする。
an:n回目でストップする確率とする。
当然、anは0≦an≦1 ,
∞
m=Σ an =1。
n=1
を満たす。
求める期待値をmとすると、
∞
m=Σ an × n。
n=1
(1) mが正の有限値に収束すると仮定する。
表○、裏×とする。
○○でストップ。
×が出たら、リセットで、この後何回投げることになるかは、1回目と同じ条件となる。
1回目 2回目
○ ○ストップ
×コイン投げが続くが、この後のコイン投げ回数の期待値はm。
×コイン投げが続くが、この後のコイン投げ回数の期待値はm。
よって、m=1/4×2+1/4(2+m)+1/2×(1+m)
これを解いてm=6。
よってmが正の有限値に収束するならば、求める期待値m=6である。
(2) (1)より、mが正の有限値に収束すればm=6といえるので、
あとは、mが正の有限値に収束することをいえばよい。
そのためにまず一般項anを求める。
(2-1) n回目（nは4以上）でストップになるのは
n-3回目 n-2回目 n-1回目 n回目
STOPに × ○ ○
ならない
場合
n-3
よって、an=（1-Σ ak ）(1/2)・(1/2)・(1/2)
k=1
