事故・怪我の詳細が不明なので回答に困るところが多々あるのですが

少なくとも大事ではないのでしたら運がよかったと思うべきかもしれません。
相手が任意に入っていないのであればまず間違いなく自賠責の120万を超える金額は
支払わないでしょうし…。

貴方がすべきなのは
「慰謝料と治療費と休業補償」
の3点の合計を上手く120万円以内におさめる事です。

それをするために加害者請求ではダメなのです。
正確な金額を把握できないから。
単純に「4200円×通院日数」だけ貰えば満足であれば構わないのですが。