チョット、パッと思い浮かんだ或る定理の証明のメモ。
或る超越数xと、或る0、1とは同時に両方共に異なる実数なる代数的数rが何れも存在して、log_{x}|r| が有理数であったとする。
すると、或る有理数pが存在して、log_{x}|r|＝p となるから、x^{p}＝|r| から x^{2p}＝r^2。
仮定から、固定された実数rについて、r≠0 かつ r≠1 だから、r^2＞0 かつ r^2≠1、
従って、x^{2p}＞0 であって x^{2p}≠1、故に、p≠0。仮定からxは超越数だから、x^{2p} も超越数である。
r^2 は代数的数だから、x^{2p}≠r^2。しかし、これは x^{2p}＝r^2 なることに反し、矛盾する。
この矛盾は超越数xと、或る0、1とは同時に両方共に異なる実数なる代数的数rが何れも存在して、
log_{x}|r| が有理数としたことから生じたから、背理法が適用出来る。
故に、背理法を適用すると、任意の超越数xと、任意の r≠0 かつ r≠1 なるような
実数の代数的数rに対して、log_{x}|r| は無理数である。例えば、log_{π}|1＋√2| は無理数である。
