■初等関数研究室■

**ゼータ関数** · 2019/06/15(土) 22:06:56.50

初等関数（しょとうかんすう、英: Elementary function）とは、
実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、
三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを
有限回繰り返して得られる関数のことである

ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない
初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という
双曲線関数やその逆関数も初等関数である

初等関数の導関数はつねに初等関数になる

**名無し生涯学習** · 2019/06/15(土) 22:10:26.25

縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた
2マスにそれぞれ宝が眠っている
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、
ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、
同時に地点Aから探索を開始した
どっちの方が有利？

ABCD
EFGH
I JK L

**名無し生涯学習** · 2019/06/15(土) 22:11:34.94

P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134

完全追尾型多項式が完成しました

宝の個数は2

P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48

Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48

even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8

■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意

P1st／Q1st

=8(n-1){(n-2)n-6}/{2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3}+1

**名無し生涯学習** · 2019/06/15(土) 22:14:03.57

P1stとQ1stは、『宝一つの時の自陣当たり数』の二乗と
それぞれの差分を表す関数の和で求められる

■P1stを求める

宝一つの時の自陣当たり数

n(n+1)/2-1　……①

P1stは①^2と差分の和

差分は0 0 1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615……

それを表す関数

(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48　……②

計算知能で①^2+②を入力すると

∴P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48

**名無し生涯学習** · 2019/06/15(土) 22:14:45.02

■Q1stを求める

宝一つの時の自陣当たり数

n(n+1)/2-1　……①

Q1stは①^2と差分の和

差分は0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113
-148 -189……

それを表す関数は　

(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48　……③

計算知能で①^2+③を入力すると

∴Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48

**名無し生涯学習** · 2019/06/15(土) 22:15:21.12

■evenを求める

evenは、n(n+1)-1と同着数の和

同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25……

これを表す関数は　{2n^2-1+(-1)^(n)}/8　……④

n(n+1)-1　……⑤

計算知能で④+⑤を入力すると

∴even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8

**名無し生涯学習** · 2019/06/15(土) 22:16:08.08

P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519

Table[(12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51)/48,{n,1,20}]

Table[(12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3)/48,{n,1,20}]

Table[(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8,{n,1,20}]

**名無し生涯学習** · 2019/06/15(土) 22:27:27.22

2×3の場合
宝：1個　同等
宝：2～3個　長軸有利
宝：4～6個　同等

□■■
□□■

短軸有利☆

Table[C(3,k-1)+C(1,k-1),{k,1,6}]
{2, 4, 3, 1, 0, 0}

長軸有利☆

Table[C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,6}]
{2, 5, 4, 1, 0, 0}

同等☆

Table[C(5,k-1)+C(3,k-2)+C(1,k),{k,1,6}]
{2, 6, 13, 13, 6, 1}

2 * 3 [2] : 4 , 5 , 6
2 * 3 [3] : 3 , 4 , 13

**名無し生涯学習** · 2019/06/15(土) 22:35:00.06

> sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1

□■■■
□□■■
□□□■

短軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]

長軸有利☆

Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]

同等☆

Table[C(11,k-1)+C(9,k-2)+C(7,k-2)+C(1,k),{k,1,12}]

**名無し生涯学習** · 2019/06/16(日) 01:52:21.62

https://i.imgur.com/3RSO5JL.jpg

**名無し生涯学習** · 2019/06/16(日) 16:12:35.21

ガンマ関数とベータ関数
https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2006/miya-gamma.pdf

**名無し生涯学習** · 2019/06/16(日) 19:59:07.38

> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1

4×5の場合
宝：1個　同等
宝：2～5個　短軸有利
宝：6～13個　長軸有利
宝：14～20個　同等