★埼英スクール 4金次目★
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順序同型φ: X<a>≃Y<b>を考える
x<aとy<b 整列集合なので最小元は存在する
X₁=X∨X=X<α>(∃α∈X)
順序同型φ: X₁∋a→φ(a)により x∈X<a>: y=φ(x)
X<x>≃Y<y> このようなyが存在するのでx∈X₁ X₁=Xならば終わる
X₁≠Xとする。
X-X₁≠∅であり最小元をc、とする
X<c>⊂X₁∧c∉X₁ a∈X₁とする。
∃b∈Y: X<a>≃Y<b>となる
x<a、y<b
x∈X<a>とする。
順序同型写像φ: a∈X→b∈Y、
∃b∈Y: X<a>≃Y<b>
φ(x)=yとするとX<x>≃Y<y>となるy∈Yが存在する。すなわちx∈X₁
∴x∈X<a>⇒x∈X₁
∴X<a>⊂X₁
X₁=Xならば成り立つ。
X₁≠X⇒U=X\X₁≠∅。X₁<X
U⊂XなのでUも整列集合であり最小元を持つ。それをcとする。
X₁⊂X<c>
X<c>⊂X₁、∃a∈X₁: c<a⇒
c∉X₁、c∈X<a>⊂X₁となり矛盾
X₁=X<k>
∴a<c、この時X₁=X<a> α≤x<a、β≤y<b
a-α=b-β
|≤|=|Y|⇒X₁=X
|X|>|Y|⇒X₁=X<a> 集合系Aλ (λ∈Λ)においてさどのAλも∅でなければ、直積ΠAλ≠∅である。選択公理 τ=2314、σ=4321
στ=
1234→τ→2314→σ3241
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